Theorem ssbl 18458

Description: The size of a ball increases monotonically with its radius. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssbl	|- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( P ( ball ` D ) S ) )

Proof of Theorem ssbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 982	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> D e. ( * Met ` X ) )
2		simp1r 983	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> P e. X )
3		simp2l 984	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> R e. RR* )
4		simp2r 985	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> S e. RR* )
5		xmet0 18377	. . . 4 |- ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( P D P ) = 0 )
6	5	3ad2ant1 979	. . 3 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P D P ) = 0 )
7		0re 9096	. . 3 |- 0 e. RR
8	6, 7	syl6eqel 2526	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P D P ) e. RR )
9		simp3 960	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> R <_ S )
10		xsubge0 10845	. . . . 5 |- ( ( S e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( 0 <_ ( S + e - e R ) <-> R <_ S ) )
11	4, 3, 10	syl2anc 644	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( 0 <_ ( S + e - e R ) <-> R <_ S ) )
12	9, 11	mpbird 225	. . 3 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> 0 <_ ( S + e - e R ) )
13	6, 12	eqbrtrd 4235	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P D P ) <_ ( S + e - e R ) )
14	1, 2, 2, 3, 4, 8, 13	xblss2 18437	1 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( P ( ball ` D ) S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 178   /\ wa 360   /\ w3a 937   = wceq 1653   e. wcel 1726   C_ wss 3322   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995   RR*cxr 9124   <_ cle 9126   - ecxne 10712   + ecxad 10713   * Metcxmt 16691   ballcbl 16693

This theorem is referenced by:  blss  18460  ssblex  18463  blssec  18470  metequiv2  18545  met1stc  18556  met2ndci  18557  metdstri  18886  xlebnum  18995  iscmet3lem2  19250  caubl  19265  heiborlem8  26541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-2 10063  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-bl 16702