Theorem ssbl 17971

Description: The size of a ball increases monotonically with its radius. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssbl	|- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( P ( ball ` D ) S ) )

Proof of Theorem ssbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 979	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> D e. ( * Met ` X ) )
2		simp1r 980	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> P e. X )
3		simp2l 981	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> R e. RR* )
4		simp2r 982	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> S e. RR* )
5		xmet0 17907	. . . 4 |- ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( P D P ) = 0 )
6	5	3ad2ant1 976	. . 3 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P D P ) = 0 )
7		0re 8838	. . 3 |- 0 e. RR
8	6, 7	syl6eqel 2371	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P D P ) e. RR )
9		simp3 957	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> R <_ S )
10		xsubge0 10581	. . . . 5 |- ( ( S e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( 0 <_ ( S + e - e R ) <-> R <_ S ) )
11	4, 3, 10	syl2anc 642	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( 0 <_ ( S + e - e R ) <-> R <_ S ) )
12	9, 11	mpbird 223	. . 3 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> 0 <_ ( S + e - e R ) )
13	6, 12	eqbrtrd 4043	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P D P ) <_ ( S + e - e R ) )
14	1, 2, 2, 3, 4, 8, 13	xblss2 17958	1 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( P ( ball ` D ) S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   /\ w3a 934   = wceq 1623   e. wcel 1684   C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   RR*cxr 8866   <_ cle 8868   - ecxne 10449   + ecxad 10450   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371

This theorem is referenced by:  blss  17972  ssblex  17974  blssec  17981  metequiv2  18056  met1stc  18067  met2ndci  18068  metdstri  18355  xlebnum  18463  iscmet3lem2  18718  caubl  18733  heiborlem8  26542

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-xmet 16373  df-bl 16375