Theorem ssbl 18410

Description: The size of a ball increases monotonically with its radius. (Contributed by NM, 20-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssbl	|- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( P ( ball ` D ) S ) )

Proof of Theorem ssbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 981	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> D e. ( * Met ` X ) )
2		simp1r 982	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> P e. X )
3		simp2l 983	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> R e. RR* )
4		simp2r 984	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> S e. RR* )
5		xmet0 18329	. . . 4 |- ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) -> ( P D P ) = 0 )
6	5	3ad2ant1 978	. . 3 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P D P ) = 0 )
7		0re 9051	. . 3 |- 0 e. RR
8	6, 7	syl6eqel 2496	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P D P ) e. RR )
9		simp3 959	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> R <_ S )
10		xsubge0 10800	. . . . 5 |- ( ( S e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( 0 <_ ( S + e - e R ) <-> R <_ S ) )
11	4, 3, 10	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( 0 <_ ( S + e - e R ) <-> R <_ S ) )
12	9, 11	mpbird 224	. . 3 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> 0 <_ ( S + e - e R ) )
13	6, 12	eqbrtrd 4196	. 2 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P D P ) <_ ( S + e - e R ) )
14	1, 2, 2, 3, 4, 8, 13	xblss2 18389	1 |- ( ( ( D e. ( * Met ` X ) /\ P e. X ) /\ ( R e. RR* /\ S e. RR* ) /\ R <_ S ) -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ ( P ( ball ` D ) S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   C_ wss 3284   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949   0cc0 8950   RR*cxr 9079   <_ cle 9081   - ecxne 10667   + ecxad 10668   * Metcxmt 16645   ballcbl 16647

This theorem is referenced by:  blss  18412  ssblex  18415  blssec  18422  metequiv2  18497  met1stc  18508  met2ndci  18509  metdstri  18838  xlebnum  18947  iscmet3lem2  19202  caubl  19217  heiborlem8  26421

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-2 10018  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-bl 16656