Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssc2 Structured version   Unicode version

Theorem ssc2 14022
 Description: Infer subset relation on morphisms from the subcategory subset relation. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ssc2.1
ssc2.2 cat
ssc2.3
ssc2.4
Assertion
Ref Expression
ssc2

Proof of Theorem ssc2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssc2.3 . 2
2 ssc2.4 . 2
3 ssc2.2 . . . 4 cat
4 ssc2.1 . . . . 5
5 eqidd 2437 . . . . . 6
63, 5sscfn2 14018 . . . . 5
7 sscrel 14013 . . . . . . . 8 cat
87brrelex2i 4919 . . . . . . 7 cat
93, 8syl 16 . . . . . 6
10 dmexg 5130 . . . . . 6
11 dmexg 5130 . . . . . 6
129, 10, 113syl 19 . . . . 5
134, 6, 12isssc 14020 . . . 4 cat
143, 13mpbid 202 . . 3
1514simprd 450 . 2
16 oveq1 6088 . . . 4
17 oveq1 6088 . . . 4
1816, 17sseq12d 3377 . . 3
19 oveq2 6089 . . . 4
20 oveq2 6089 . . . 4
2119, 20sseq12d 3377 . . 3
2218, 21rspc2va 3059 . 2
231, 2, 15, 22syl21anc 1183 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cvv 2956   wss 3320   class class class wbr 4212   cxp 4876   cdm 4878   wfn 5449  (class class class)co 6081   cat cssc 14007 This theorem is referenced by:  ssctr  14025  ssceq  14026  subcss2  14040 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-ixp 7064  df-ssc 14010
 Copyright terms: Public domain W3C validator