Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssceq Structured version   Unicode version

Theorem ssceq 14026
 Description: The subcategory subset relation is antisymmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
ssceq cat cat

Proof of Theorem ssceq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . . 6 cat cat cat
2 eqidd 2437 . . . . . 6 cat cat
31, 2sscfn1 14017 . . . . 5 cat cat
4 simpr 448 . . . . . 6 cat cat cat
5 eqidd 2437 . . . . . 6 cat cat
64, 5sscfn1 14017 . . . . 5 cat cat
73, 6, 1ssc1 14021 . . . 4 cat cat
86, 3, 4ssc1 14021 . . . 4 cat cat
97, 8eqssd 3365 . . 3 cat cat
109, 9xpeq12d 4903 . 2 cat cat
113adantr 452 . . . . 5 cat cat
121adantr 452 . . . . 5 cat cat cat
13 simprl 733 . . . . 5 cat cat
14 simprr 734 . . . . 5 cat cat
1511, 12, 13, 14ssc2 14022 . . . 4 cat cat
166adantr 452 . . . . 5 cat cat
174adantr 452 . . . . 5 cat cat cat
187adantr 452 . . . . . 6 cat cat
1918, 13sseldd 3349 . . . . 5 cat cat
2018, 14sseldd 3349 . . . . 5 cat cat
2116, 17, 19, 20ssc2 14022 . . . 4 cat cat
2215, 21eqssd 3365 . . 3 cat cat
2322ralrimivva 2798 . 2 cat cat
24 eqfnov 6176 . . 3
253, 6, 24syl2anc 643 . 2 cat cat
2610, 23, 25mpbir2and 889 1 cat cat
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705   wss 3320   class class class wbr 4212   cxp 4876   cdm 4878   wfn 5449  (class class class)co 6081   cat cssc 14007 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-ixp 7064  df-ssc 14010
 Copyright terms: Public domain W3C validator