MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sscls Unicode version

Theorem sscls 17045
Description: A subset of a topology's underlying set is included in its closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
sscls  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )

Proof of Theorem sscls
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4012 . 2  |-  S  C_  |^|
{ x  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  x }
2 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
32clsval 17026 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
41, 3syl5sseqr 3342 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  C_  ( ( cls `  J ) `  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2655    C_ wss 3265   U.cuni 3959   |^|cint 3994   ` cfv 5396   Topctop 16883   Clsdccld 17005   clsccl 17007
This theorem is referenced by:  iscld4  17054  elcls  17062  ntrcls0  17065  clslp  17136  restcls  17169  cncls2i  17258  nrmsep  17345  lpcls  17352  regsep2  17364  hauscmplem  17393  hauscmp  17394  clscon  17416  concompcld  17420  hausllycmp  17480  txcls  17559  ptclsg  17570  regr1lem  17694  kqreglem1  17696  kqreglem2  17697  kqnrmlem1  17698  kqnrmlem2  17699  fclscmpi  17984  clssubg  18061  tsmsid  18092  cnllycmp  18854  clsocv  19077  relcmpcmet  19142  bcthlem2  19149  bcthlem4  19151  limcnlp  19634  opnbnd  26021  opnregcld  26026  cldregopn  26027  heibor1lem  26211  heiborlem8  26220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-top 16888  df-cld 17008  df-cls 17010
  Copyright terms: Public domain W3C validator