Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sscmp Structured version   Unicode version

Theorem sscmp 17460
 Description: A subset of a compact topology (i.e. a coarser topology) is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sscmp.1
Assertion
Ref Expression
sscmp TopOn

Proof of Theorem sscmp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16983 . . 3 TopOn
3 elpwi 3799 . . . 4
4 simpl2 961 . . . . . . 7 TopOn
5 simprl 733 . . . . . . . 8 TopOn
6 simpl3 962 . . . . . . . 8 TopOn
75, 6sstrd 3350 . . . . . . 7 TopOn
8 simpl1 960 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
9 toponuni 16984 . . . . . . . . 9 TopOn
108, 9syl 16 . . . . . . . 8 TopOn
11 simprr 734 . . . . . . . 8 TopOn
1210, 11eqtrd 2467 . . . . . . 7 TopOn
13 sscmp.1 . . . . . . . 8
1413cmpcov 17444 . . . . . . 7
154, 7, 12, 14syl3anc 1184 . . . . . 6 TopOn
1610eqeq1d 2443 . . . . . . 7 TopOn
1716rexbidv 2718 . . . . . 6 TopOn
1815, 17mpbid 202 . . . . 5 TopOn
1918expr 599 . . . 4 TopOn
203, 19sylan2 461 . . 3 TopOn
2120ralrimiva 2781 . 2 TopOn
22 eqid 2435 . . 3
2322iscmp 17443 . 2
242, 21, 23sylanbrc 646 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698   cin 3311   wss 3312  cpw 3791  cuni 4007  cfv 5446  cfn 7101  ctop 16950  TopOnctopon 16951  ccmp 17441 This theorem is referenced by:  kgencmp2  17570  kgen2ss  17579 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-topon 16958  df-cmp 17442
 Copyright terms: Public domain W3C validator