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Theorem ssconb 3309
Description: Contraposition law for subsets. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
ssconb  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( A  C_  ( C  \  B )  <->  B  C_  ( C  \  A ) ) )

Proof of Theorem ssconb
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3174 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  C  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  C )
)
2 ssel 3174 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  C  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  C )
)
3 pm5.1 830 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) )  -> 
( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  <->  ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) ) )
41, 2, 3syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  <->  ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) ) )
5 con2b 324 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B
)  <->  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A ) )
65a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B )  <->  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A ) ) )
74, 6anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  (
x  e.  A  ->  -.  x  e.  B
) )  <->  ( (
x  e.  B  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A
) ) ) )
8 jcab 833 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( x  e.  C  /\  -.  x  e.  B
) )  <->  ( (
x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B
) ) )
9 jcab 833 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  -> 
( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
) )  <->  ( (
x  e.  B  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A
) ) )
107, 8, 93bitr4g 279 . . . 4  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  B ) )  <->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A )
) ) )
11 eldif 3162 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( C  \  B )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  B ) )
1211imbi2i 303 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  ( C  \  B ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  B )
) )
13 eldif 3162 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( C  \  A )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A ) )
1413imbi2i 303 . . . 4  |-  ( ( x  e.  B  ->  x  e.  ( C  \  A ) )  <->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A )
) )
1510, 12, 143bitr4g 279 . . 3  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( x  e.  A  ->  x  e.  ( C  \  B ) )  <->  ( x  e.  B  ->  x  e.  ( C  \  A ) ) ) )
1615albidv 1611 . 2  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( A. x ( x  e.  A  ->  x  e.  ( C  \  B ) )  <->  A. x
( x  e.  B  ->  x  e.  ( C 
\  A ) ) ) )
17 dfss2 3169 . 2  |-  ( A 
C_  ( C  \  B )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  x  e.  ( C 
\  B ) ) )
18 dfss2 3169 . 2  |-  ( B 
C_  ( C  \  A )  <->  A. x
( x  e.  B  ->  x  e.  ( C 
\  A ) ) )
1916, 17, 183bitr4g 279 1  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( A  C_  ( C  \  B )  <->  B  C_  ( C  \  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    e. wcel 1684    \ cdif 3149    C_ wss 3152
This theorem is referenced by:  pssdifcom1  3539  pssdifcom2  3540  sbthlem1  6971  sbthlem2  6972  rpnnen2lem11  12503  setscom  13176  dpjidcl  15293  clsval2  16787  regsep2  17104  conss2  27058
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-v 2790  df-dif 3155  df-in 3159  df-ss 3166
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