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Theorem ssconb 3423
Description: Contraposition law for subsets. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
ssconb  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( A  C_  ( C  \  B )  <->  B  C_  ( C  \  A ) ) )

Proof of Theorem ssconb
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3285 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  C  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  C )
)
2 ssel 3285 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  C  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  C )
)
3 pm5.1 831 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) )  -> 
( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  <->  ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) ) )
41, 2, 3syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  <->  ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) ) )
5 con2b 325 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B
)  <->  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A ) )
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B )  <->  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A ) ) )
74, 6anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  (
x  e.  A  ->  -.  x  e.  B
) )  <->  ( (
x  e.  B  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A
) ) ) )
8 jcab 834 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( x  e.  C  /\  -.  x  e.  B
) )  <->  ( (
x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B
) ) )
9 jcab 834 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  -> 
( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
) )  <->  ( (
x  e.  B  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A
) ) )
107, 8, 93bitr4g 280 . . . 4  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  B ) )  <->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A )
) ) )
11 eldif 3273 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( C  \  B )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  B ) )
1211imbi2i 304 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  ( C  \  B ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  B )
) )
13 eldif 3273 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( C  \  A )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A ) )
1413imbi2i 304 . . . 4  |-  ( ( x  e.  B  ->  x  e.  ( C  \  A ) )  <->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A )
) )
1510, 12, 143bitr4g 280 . . 3  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( x  e.  A  ->  x  e.  ( C  \  B ) )  <->  ( x  e.  B  ->  x  e.  ( C  \  A ) ) ) )
1615albidv 1632 . 2  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( A. x ( x  e.  A  ->  x  e.  ( C  \  B ) )  <->  A. x
( x  e.  B  ->  x  e.  ( C 
\  A ) ) ) )
17 dfss2 3280 . 2  |-  ( A 
C_  ( C  \  B )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  x  e.  ( C 
\  B ) ) )
18 dfss2 3280 . 2  |-  ( B 
C_  ( C  \  A )  <->  A. x
( x  e.  B  ->  x  e.  ( C 
\  A ) ) )
1916, 17, 183bitr4g 280 1  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( A  C_  ( C  \  B )  <->  B  C_  ( C  \  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    e. wcel 1717    \ cdif 3260    C_ wss 3263
This theorem is referenced by:  pssdifcom1  3656  pssdifcom2  3657  sbthlem1  7153  sbthlem2  7154  rpnnen2lem11  12751  setscom  13424  dpjidcl  15543  clsval2  17037  regsep2  17362  conss2  27314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-v 2901  df-dif 3266  df-in 3270  df-ss 3277
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