Theorem ssdmres 3381

Description: A domain restricted to a subclass equals the subclass.

Assertion

Ref	Expression
ssdmres	|- (A (_ dom B <-> dom ( B |` A) = A)

Proof of Theorem ssdmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 2053	. 2 |- (A (_ dom B <-> (A i^i dom B) = A)
2		dmres 3380	. . 3 |- dom ( B |` A) = (A i^i dom B)
3	2	eqeq1i 1482	. 2 |- (dom ( B |` A) = A <-> (A i^i dom B) = A)
4	1, 3	bitr4 176	1 |- (A (_ dom B <-> dom ( B |` A) = A)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 956   i^i cin 2046   (_ wss 2047  dom cdm 3170   |` cres 3172

This theorem is referenced by:  dmresi 3399  fnssresb 3599  fores 3681  sbthlem4 4450  metreslem 7822  resgrprn 8095  hhssabl 9132  hhssnv 9134  hhshsslem1 9137  ghomfo 10391

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-dm 3188  df-res 3190

Copyright terms: Public domain