Theorem ssdom2g 4390

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94.

Assertion

Ref	Expression
ssdom2g	|- (B e. C -> (A (_ B -> A ~<_ B))

Proof of Theorem ssdom2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 2711	. . 3 |- ((A (_ B /\ B e. C) -> A e. V)
2	1	expcom 374	. 2 |- (B e. C -> (A (_ B -> A e. V))
3		ssdomg 4389	. 2 |- (A e. V -> (A (_ B -> A ~<_ B))
4	2, 3	syli 54	1 |- (B e. C -> (A (_ B -> A ~<_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 955  Vcvv 1802   (_ wss 2037   class class class wbr 2609   ~<_ cdom 4349

This theorem is referenced by:  undom 4418  2pwuninel 4465  pwuninelg 4467  limenpsi 4485  php 4493  php2 4494  php3 4495  onomeneq 4498  0sdom1dom 4504  brdom3 4773  brdom5 4774  brdom4 4775  imadomg 4778  cardsdomel 4824  xpnnen 7441  ruc 7492  infdif 7511  infdif2 7512  alephadd 7524  alephmul 7525  alephexp1 7526  alephsuc3 7527  alephexp2 7528  cctop 7594

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-en 4351  df-dom 4352

Copyright terms: Public domain