Theorem ssdomg 4408

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94.

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	|- (A e. C -> (A (_ B -> A ~<_ B))

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1domg 4396	. 2 |- (A e. C -> ((I |` A):A-1-1->B -> A ~<_ B))
2		f1oi 3717	. . . . . . . 8 |- (I |` A):A-1-1-onto->A
3		f1o3 3694	. . . . . . . 8 |- ((I |` A):A-1-1-onto->A <-> ((I |` A):A-onto->A /\ Fun `'(I |` A)))
4	2, 3	mpbi 189	. . . . . . 7 |- ((I |` A):A-onto->A /\ Fun `'(I |` A))
5	4	pm3.26i 320	. . . . . 6 |- (I |` A):A-onto->A
6		fof 3672	. . . . . 6 |- ((I |` A):A-onto->A -> (I |` A):A-->A)
7	5, 6	ax-mp 7	. . . . 5 |- (I |` A):A-->A
8		fss 3635	. . . . 5 |- (((I |` A):A-->A /\ A (_ B) -> (I |` A):A-->B)
9	7, 8	mpan 695	. . . 4 |- (A (_ B -> (I |` A):A-->B)
10		funi 3545	. . . . . 6 |- Fun I
11		cnvi 3447	. . . . . . 7 |- `'I = I
12		funeq 3535	. . . . . . 7 |- (`'I = I -> (Fun `'I <-> Fun I))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (Fun `'I <-> Fun I)
14	10, 13	mpbir 190	. . . . 5 |- Fun `'I
15		funres11 3567	. . . . 5 |- (Fun `'I -> Fun `'(I |` A))
16	14, 15	ax-mp 7	. . . 4 |- Fun `'(I |` A)
17	9, 16	jctir 293	. . 3 |- (A (_ B -> ((I |` A):A-->B /\ Fun `'(I |` A)))
18		df-f1 3195	. . 3 |- ((I |` A):A-1-1->B <-> ((I |` A):A-->B /\ Fun `'(I |` A)))
19	17, 18	sylibr 200	. 2 |- (A (_ B -> (I |` A):A-1-1->B)
20	1, 19	syl5 21	1 |- (A e. C -> (A (_ B -> A ~<_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  Icid 2831  `'ccnv 3169   |` cres 3172  Fun wfun 3176  -->wf 3178  -1-1->wf1 3179  -onto->wfo 3180  -1-1-onto->wf1o 3181   ~<_ cdom 4365

This theorem is referenced by:  ssdom2g 4409  xpdom3 4445  0dom 4464  mapdom1 4492  onomeneq 4519  nndomo 4521  omsdomnn 4530  unbnn 4544  pwfilemOLD 4570  fodom 4798  carddomi 4835  unxpdomlem 4843  sdomel 4847  ondomon 4856  carduni 4858  cardprc 4861  alephordlem2 4873  alephordi 4874  alephval2 4902  cdadom3 4935  znnen 7502  qnnen 7503  infxpidmlem1 7552  infxpidmlem8 7559  infxpidmlem11 7562  infxpidmlem12 7563  infunabs 7565  infdif 7568  infmap2 7581  alephexp1 7584  axgroth2 8778

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-en 4368  df-dom 4369

Copyright terms: Public domain