MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfg Structured version   Unicode version

Theorem ssfg 17904
Description: A filter base is a subset of its generated filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfg  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )

Proof of Theorem ssfg
Dummy variables  x  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fbelss 17865 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  t  e.  F )  ->  t  C_  X )
21ex 424 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  t  C_  X ) )
3 ssid 3367 . . . . . 6  |-  t  C_  t
4 sseq1 3369 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
x  C_  t  <->  t  C_  t ) )
54rspcev 3052 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  F  /\  t  C_  t )  ->  E. x  e.  F  x  C_  t )
63, 5mpan2 653 . . . . 5  |-  ( t  e.  F  ->  E. x  e.  F  x  C_  t
)
76a1i 11 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  E. x  e.  F  x  C_  t
) )
82, 7jcad 520 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  ( t 
C_  X  /\  E. x  e.  F  x  C_  t ) ) )
9 elfg 17903 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. x  e.  F  x  C_  t ) ) )
108, 9sylibrd 226 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  t  e.  ( X filGen F ) ) )
1110ssrdv 3354 1  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   E.wrex 2706    C_ wss 3320   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   fBascfbas 16689   filGencfg 16690
This theorem is referenced by:  fgss2  17906  fgfil  17907  fgabs  17911  trfg  17923  isufil2  17940  ssufl  17950  ufileu  17951  filufint  17952  elfm2  17980  fmfnfmlem4  17989  fmfnfm  17990  fmco  17993  hausflim  18013  flimclslem  18016  flffbas  18027  fclsbas  18053  fclsfnflim  18059  flimfnfcls  18060  fclscmp  18062  isucn2  18309  cfilufg  18323  metustOLD  18597  metust  18598  metutopOLD  18612  psmetutop  18613  fgcfil  19224  cmetss  19267  minveclem4a  19331  minveclem4  19333  fgmin  26399
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-fbas 16699  df-fg 16700
  Copyright terms: Public domain W3C validator