MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfg Unicode version

Theorem ssfg 17567
Description: A filter base is a subset of its generated filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfg  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )

Proof of Theorem ssfg
Dummy variables  x  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fbelss 17528 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  t  e.  F )  ->  t  C_  X )
21ex 423 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  t  C_  X ) )
3 ssid 3197 . . . . . 6  |-  t  C_  t
4 sseq1 3199 . . . . . . 7  |-  ( x  =  t  ->  (
x  C_  t  <->  t  C_  t ) )
54rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  F  /\  t  C_  t )  ->  E. x  e.  F  x  C_  t )
63, 5mpan2 652 . . . . 5  |-  ( t  e.  F  ->  E. x  e.  F  x  C_  t
)
76a1i 10 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  E. x  e.  F  x  C_  t
) )
82, 7jcad 519 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  ( t 
C_  X  /\  E. x  e.  F  x  C_  t ) ) )
9 elfg 17566 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. x  e.  F  x  C_  t ) ) )
108, 9sylibrd 225 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  F  ->  t  e.  ( X filGen F ) ) )
1110ssrdv 3185 1  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   E.wrex 2544    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   fBascfbas 17518   filGencfg 17519
This theorem is referenced by:  fgss2  17569  fgfil  17570  fgabs  17574  trfg  17586  isufil2  17603  ssufl  17613  ufileu  17614  filufint  17615  elfm2  17643  fmfnfmlem4  17652  fmfnfm  17653  fmco  17656  hausflim  17676  flimclslem  17679  flffbas  17690  fclsbas  17716  fclsfnflim  17722  flimfnfcls  17723  fclscmp  17725  fgcfil  18697  cmetss  18740  minveclem4a  18794  minveclem4  18796  efilcp  25552  fgmin  26319
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-fbas 17520  df-fg 17521
  Copyright terms: Public domain W3C validator