Theorem ssfi 4537

Description: A subset of a finite set is finite. Corollary 6G of [Enderton] p. 138.

Assertion

Ref	Expression
ssfi	|- ((A e. Fin /\ B (_ A) -> B e. Fin)

Proof of Theorem ssfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 4382	. . 3 |- (A e. Fin <-> E.x e. om A ~~ x)
2		breng 4375	. . . . 5 |- (x e. om -> (A ~~ x <-> E.z z:A-1-1-onto->x))
3		ssnnfi 4535	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. om /\ (z"B) (_ x) -> (z"B) e. Fin)
4		isfi 4382	. . . . . . . . . . 11 |- ((z"B) e. Fin <-> E.y e. om (z"B) ~~ y)
5	3, 4	sylib 198	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. om /\ (z"B) (_ x) -> E.y e. om (z"B) ~~ y)
6		f1ofo 3695	. . . . . . . . . . 11 |- (z:A-1-1-onto->x -> z:A-onto->x)
7		imassrn 3415	. . . . . . . . . . . 12 |- (z"B) (_ ran z
8		forn 3674	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z:A-onto->x -> ran z = x)
9	8	sseq2d 2089	. . . . . . . . . . . 12 |- (z:A-onto->x -> ((z"B) (_ ran z <-> (z"B) (_ x))
10	7, 9	mpbii 193	. . . . . . . . . . 11 |- (z:A-onto->x -> (z"B) (_ x)
11	6, 10	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- (z:A-1-1-onto->x -> (z"B) (_ x)
12	5, 11	sylan2 451	. . . . . . . . 9 |- ((x e. om /\ z:A-1-1-onto->x) -> E.y e. om (z"B) ~~ y)
13	12	adantrr 395	. . . . . . . 8 |- ((x e. om /\ (z:A-1-1-onto->x /\ B (_ A)) -> E.y e. om (z"B) ~~ y)
14		entrt 4414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B ~~ (z"B) /\ (z"B) ~~ y) -> B ~~ y)
15		visset 1813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. V
16		resexg 3394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z e. V -> (z |` B) e. V)
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z |` B) e. V
18		f1oeq1 3684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = (z |` B) -> (x:B-1-1-onto->(z"B) <-> (z |` B):B-1-1-onto->(z"B)))
19	17, 18	cla4ev 1869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z |` B):B-1-1-onto->(z"B) -> E.x x:B-1-1-onto->(z"B))
20		imaexg 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z e. V -> (z"B) e. V)
21	15, 20	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z"B) e. V
22	21	bren 4377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (B ~~ (z"B) <-> E.x x:B-1-1-onto->(z"B))
23	19, 22	sylibr 200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z |` B):B-1-1-onto->(z"B) -> B ~~ (z"B))
24	14, 23	sylan 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((z |` B):B-1-1-onto->(z"B) /\ (z"B) ~~ y) -> B ~~ y)
25		f1ores 3703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z:A-1-1->x /\ B (_ A) -> (z |` B):B-1-1-onto->(z"B))
26		f1of1 3688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z:A-1-1-onto->x -> z:A-1-1->x)
27	25, 26	sylan 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z:A-1-1-onto->x /\ B (_ A) -> (z |` B):B-1-1-onto->(z"B))
28	24, 27	sylan 448	. . . . . . . . . . . 12 |- (((z:A-1-1-onto->x /\ B (_ A) /\ (z"B) ~~ y) -> B ~~ y)
29	28	ex 373	. . . . . . . . . . 11 |- ((z:A-1-1-onto->x /\ B (_ A) -> ((z"B) ~~ y -> B ~~ y))
30	29	r19.22sdv 1738	. . . . . . . . . 10 |- ((z:A-1-1-onto->x /\ B (_ A) -> (E.y e. om (z"B) ~~ y -> E.y e. om B ~~ y))
31		isfi 4382	. . . . . . . . . 10 |- (B e. Fin <-> E.y e. om B ~~ y)
32	30, 31	syl6ibr 213	. . . . . . . . 9 |- ((z:A-1-1-onto->x /\ B (_ A) -> (E.y e. om (z"B) ~~ y -> B e. Fin))
33	32	adantl 388	. . . . . . . 8 |- ((x e. om /\ (z:A-1-1-onto->x /\ B (_ A)) -> (E.y e. om (z"B) ~~ y -> B e. Fin))
34	13, 33	mpd 26	. . . . . . 7 |- ((x e. om /\ (z:A-1-1-onto->x /\ B (_ A)) -> B e. Fin)
35	34	exp32 377	. . . . . 6 |- (x e. om -> (z:A-1-1-onto->x -> (B (_ A -> B e. Fin)))
36	35	19.23adv 1214	. . . . 5 |- (x e. om -> (E.z z:A-1-1-onto->x -> (B (_ A -> B e. Fin)))
37	2, 36	sylbid 203	. . . 4 |- (x e. om -> (A ~~ x -> (B (_ A -> B e. Fin)))
38	37	r19.23aiv 1743	. . 3 |- (E.x e. om A ~~ x -> (B (_ A -> B e. Fin))
39	1, 38	sylbi 199	. 2 |- (A e. Fin -> (B (_ A -> B e. Fin))
40	39	imp 350	1 |- ((A e. Fin /\ B (_ A) -> B e. Fin)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  E.wex 980  E.wrex 1646  Vcvv 1811   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  omcom 3131  ran crn 3171   |` cres 3172  "cima 3173  -1-1->wf1 3179  -onto->wfo 3180  -1-1-onto->wf1o 3181   ~~ cen 4364  Fincfn 4367

This theorem is referenced by:  unfi 4551  cnfilca 10583  rcfpfillem6 10595

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-er 4261  df-en 4368  df-fin 4371

Copyright terms: Public domain