MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfii Structured version   Unicode version

Theorem ssfii 7453
Description: Any element of a set  A is the intersection of a finite subset of  A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfii  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )

Proof of Theorem ssfii
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2965 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21intsn 4110 . . . 4  |-  |^| { x }  =  x
3 simpl 445 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  A  e.  V )
4 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
54snssd 3967 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  { x }  C_  A )
61snnz 3946 . . . . . 6  |-  { x }  =/=  (/)
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  { x }  =/=  (/) )
8 snfi 7216 . . . . . 6  |-  { x }  e.  Fin
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  { x }  e.  Fin )
10 elfir 7449 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( { x }  C_  A  /\  { x }  =/=  (/)  /\  { x }  e.  Fin )
)  ->  |^| { x }  e.  ( fi `  A ) )
113, 5, 7, 9, 10syl13anc 1187 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  |^| { x }  e.  ( fi `  A
) )
122, 11syl5eqelr 2527 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  ( fi
`  A ) )
1312ex 425 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  ( fi `  A ) ) )
1413ssrdv 3340 1  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1727    =/= wne 2605    C_ wss 3306   (/)c0 3613   {csn 3838   |^|cint 4074   ` cfv 5483   Fincfn 7138   ficfi 7444
This theorem is referenced by:  fieq0  7455  dffi2  7457  inficl  7459  fiuni  7462  dffi3  7465  inffien  7975  fictb  8156  ordtbas2  17286  ordtbas  17287  ordtopn1  17289  ordtopn2  17290  leordtval2  17307  subbascn  17349  2ndcsb  17543  ptbasfi  17644  xkoopn  17652  fsubbas  17930  fbunfip  17932  isufil2  17971  ufileu  17982  filufint  17983  fmfnfmlem4  18020  fmfnfm  18021  hausflim  18044  flimclslem  18047  fclsfnflim  18090  flimfnfcls  18091  fclscmp  18093  alexsubb  18108  alexsubALTlem4  18112  topjoin  26432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-1o 6753  df-en 7139  df-fin 7142  df-fi 7445
  Copyright terms: Public domain W3C validator