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Theorem ssfin4 7952
Description: Dedekind finite sets have Dedekind finite subsets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssfin4  |-  ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A
)  ->  B  e. FinIV )

Proof of Theorem ssfin4
Dummy variables  c  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  (
x  C.  B  /\  x  ~~  B ) )  ->  A  e. FinIV )
2 pssss 3284 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C.  B  ->  x  C_  B )
3 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A
)  ->  B  C_  A
)
42, 3sylan9ssr 3206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  x  C.  B )  ->  x  C_  A )
5 difss 3316 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  B )  C_  A
65a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  x  C.  B )  ->  ( A  \  B )  C_  A )
74, 6unssd 3364 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  x  C.  B )  ->  (
x  u.  ( A 
\  B ) ) 
C_  A )
8 pssnel 3532 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C.  B  ->  E. c
( c  e.  B  /\  -.  c  e.  x
) )
98adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  x  C.  B )  ->  E. c
( c  e.  B  /\  -.  c  e.  x
) )
10 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  x  C.  B )  /\  ( c  e.  B  /\  -.  c  e.  x ) )  ->  B  C_  A )
11 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  x  C.  B )  /\  ( c  e.  B  /\  -.  c  e.  x ) )  -> 
c  e.  B )
1210, 11sseldd 3194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  x  C.  B )  /\  ( c  e.  B  /\  -.  c  e.  x ) )  -> 
c  e.  A )
13 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  x  C.  B )  /\  ( c  e.  B  /\  -.  c  e.  x ) )  ->  -.  c  e.  x
)
14 elndif 3313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  B  ->  -.  c  e.  ( A  \  B ) )
1514ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  x  C.  B )  /\  ( c  e.  B  /\  -.  c  e.  x ) )  ->  -.  c  e.  ( A  \  B ) )
16 ioran 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( c  e.  x  \/  c  e.  ( A  \  B ) )  <-> 
( -.  c  e.  x  /\  -.  c  e.  ( A  \  B
) ) )
17 elun 3329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  ( x  u.  ( A  \  B
) )  <->  ( c  e.  x  \/  c  e.  ( A  \  B
) ) )
1816, 17xchnxbir 300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  c  e.  ( x  u.  ( A  \  B ) )  <->  ( -.  c  e.  x  /\  -.  c  e.  ( A  \  B ) ) )
1913, 15, 18sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  x  C.  B )  /\  ( c  e.  B  /\  -.  c  e.  x ) )  ->  -.  c  e.  (
x  u.  ( A 
\  B ) ) )
20 nelneq2 2395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  A  /\  -.  c  e.  (
x  u.  ( A 
\  B ) ) )  ->  -.  A  =  ( x  u.  ( A  \  B
) ) )
2112, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  x  C.  B )  /\  ( c  e.  B  /\  -.  c  e.  x ) )  ->  -.  A  =  (
x  u.  ( A 
\  B ) ) )
22 eqcom 2298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  ( x  u.  ( A  \  B
) )  <->  ( x  u.  ( A  \  B
) )  =  A )
2321, 22sylnib 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  x  C.  B )  /\  ( c  e.  B  /\  -.  c  e.  x ) )  ->  -.  ( x  u.  ( A  \  B ) )  =  A )
2423ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  x  C.  B )  ->  (
( c  e.  B  /\  -.  c  e.  x
)  ->  -.  (
x  u.  ( A 
\  B ) )  =  A ) )
2524exlimdv 1626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  x  C.  B )  ->  ( E. c ( c  e.  B  /\  -.  c  e.  x )  ->  -.  ( x  u.  ( A  \  B ) )  =  A ) )
269, 25mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  x  C.  B )  ->  -.  ( x  u.  ( A  \  B ) )  =  A )
27 dfpss2 3274 . . . . . . 7  |-  ( ( x  u.  ( A 
\  B ) ) 
C.  A  <->  ( (
x  u.  ( A 
\  B ) ) 
C_  A  /\  -.  ( x  u.  ( A  \  B ) )  =  A ) )
287, 26, 27sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  x  C.  B )  ->  (
x  u.  ( A 
\  B ) ) 
C.  A )
2928adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  (
x  C.  B  /\  x  ~~  B ) )  ->  ( x  u.  ( A  \  B
) )  C.  A
)
30 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  (
x  C.  B  /\  x  ~~  B ) )  ->  x  ~~  B
)
31 difexg 4178 . . . . . . . 8  |-  ( A  e. FinIV  ->  ( A  \  B )  e.  _V )
32 enrefg 6909 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  B )  e.  _V  ->  ( A  \  B )  ~~  ( A  \  B ) )
331, 31, 323syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  (
x  C.  B  /\  x  ~~  B ) )  ->  ( A  \  B )  ~~  ( A  \  B ) )
342ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  (
x  C.  B  /\  x  ~~  B ) )  ->  x  C_  B
)
35 ssinss1 3410 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  B  ->  (
x  i^i  A )  C_  B )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  (
x  C.  B  /\  x  ~~  B ) )  ->  ( x  i^i 
A )  C_  B
)
37 inssdif0 3534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  B  <->  ( x  i^i  ( A  \  B
) )  =  (/) )
3836, 37sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  (
x  C.  B  /\  x  ~~  B ) )  ->  ( x  i^i  ( A  \  B
) )  =  (/) )
39 disjdif 3539 . . . . . . . 8  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
4038, 39jctir 524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  (
x  C.  B  /\  x  ~~  B ) )  ->  ( ( x  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)  /\  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/) ) )
41 unen 6959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  ~~  B  /\  ( A  \  B
)  ~~  ( A  \  B ) )  /\  ( ( x  i^i  ( A  \  B
) )  =  (/)  /\  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/) ) )  -> 
( x  u.  ( A  \  B ) ) 
~~  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
4230, 33, 40, 41syl21anc 1181 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  (
x  C.  B  /\  x  ~~  B ) )  ->  ( x  u.  ( A  \  B
) )  ~~  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
43 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  (
x  C.  B  /\  x  ~~  B ) )  ->  B  C_  A
)
44 undif 3547 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  =  A )
4543, 44sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  (
x  C.  B  /\  x  ~~  B ) )  ->  ( B  u.  ( A  \  B ) )  =  A )
4642, 45breqtrd 4063 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  (
x  C.  B  /\  x  ~~  B ) )  ->  ( x  u.  ( A  \  B
) )  ~~  A
)
47 fin4i 7940 . . . . 5  |-  ( ( ( x  u.  ( A  \  B ) ) 
C.  A  /\  (
x  u.  ( A 
\  B ) ) 
~~  A )  ->  -.  A  e. FinIV )
4829, 46, 47syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A )  /\  (
x  C.  B  /\  x  ~~  B ) )  ->  -.  A  e. FinIV )
491, 48pm2.65da 559 . . 3  |-  ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A
)  ->  -.  (
x  C.  B  /\  x  ~~  B ) )
5049nexdv 1869 . 2  |-  ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A
)  ->  -.  E. x
( x  C.  B  /\  x  ~~  B ) )
51 ssexg 4176 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e. FinIV )  ->  B  e.  _V )
5251ancoms 439 . . 3  |-  ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A
)  ->  B  e.  _V )
53 isfin4 7939 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e. FinIV 
<->  -.  E. x ( x  C.  B  /\  x  ~~  B ) ) )
5452, 53syl 15 . 2  |-  ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A
)  ->  ( B  e. FinIV  <->  -. 
E. x ( x 
C.  B  /\  x  ~~  B ) ) )
5550, 54mpbird 223 1  |-  ( ( A  e. FinIV  /\  B  C_  A
)  ->  B  e. FinIV )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165    C. wpss 3166   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    ~~ cen 6876  FinIVcfin4 7922
This theorem is referenced by:  domfin4  7953
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-en 6880  df-fin4 7929
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