Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssidcn Structured version   Unicode version

Theorem ssidcn 17321
 Description: The identity function is a continuous function from one topology to another topology on the same set iff the domain is finer than the codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssidcn TopOn TopOn

Proof of Theorem ssidcn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscn 17301 . . 3 TopOn TopOn
2 f1oi 5715 . . . . 5
3 f1of 5676 . . . . 5
42, 3ax-mp 8 . . . 4
54biantrur 494 . . 3
61, 5syl6bbr 256 . 2 TopOn TopOn
7 cnvresid 5525 . . . . . . 7
87imaeq1i 5202 . . . . . 6
9 elssuni 4045 . . . . . . . . 9
109adantl 454 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
11 toponuni 16994 . . . . . . . . 9 TopOn
1211ad2antlr 709 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
1310, 12sseqtr4d 3387 . . . . . . 7 TopOn TopOn
14 resiima 5222 . . . . . . 7
1513, 14syl 16 . . . . . 6 TopOn TopOn
168, 15syl5eq 2482 . . . . 5 TopOn TopOn
1716eleq1d 2504 . . . 4 TopOn TopOn
1817ralbidva 2723 . . 3 TopOn TopOn
19 dfss3 3340 . . 3
2018, 19syl6bbr 256 . 2 TopOn TopOn
216, 20bitrd 246 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   wss 3322  cuni 4017   cid 4495  ccnv 4879   cres 4882  cima 4883  wf 5452  wf1o 5455  cfv 5456  (class class class)co 6083  TopOnctopon 16961   ccn 17290 This theorem is referenced by:  idcn  17323  sshauslem  17438 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-map 7022  df-top 16965  df-topon 16968  df-cn 17293
 Copyright terms: Public domain W3C validator