Theorem ssiin 2589

Description: Subset theorem for an indexed intersection.

Assertion

Ref	Expression
ssiin	|- (C (_ |^|_x e. A B <-> A.x e. A C (_ B)

Distinct variable group:   x,C

Proof of Theorem ssiin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1804	. . . . . 6 |- y e. V
2		eliin 2561	. . . . . 6 |- (y e. V -> (y e. |^|_x e. A B <-> A.x e. A y e. B))
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- (y e. |^|_x e. A B <-> A.x e. A y e. B)
4	3	imbi2i 185	. . . 4 |- ((y e. C -> y e. |^|_x e. A B) <-> (y e. C -> A.x e. A y e. B))
5		r19.21v 1708	. . . 4 |- (A.x e. A (y e. C -> y e. B) <-> (y e. C -> A.x e. A y e. B))
6		df-ral 1641	. . . 4 |- (A.x e. A (y e. C -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
7	4, 5, 6	3bitr2 179	. . 3 |- ((y e. C -> y e. |^|_x e. A B) <-> A.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
8	7	albii 996	. 2 |- (A.y(y e. C -> y e. |^|_x e. A B) <-> A.yA.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
9		dfss2 2048	. 2 |- (C (_ |^|_x e. A B <-> A.y(y e. C -> y e. |^|_x e. A B))
10		dfss2 2048	. . . 4 |- (C (_ B <-> A.y(y e. C -> y e. B))
11	10	ralbii 1659	. . 3 |- (A.x e. A C (_ B <-> A.x e. A A.y(y e. C -> y e. B))
12		df-ral 1641	. . 3 |- (A.x e. A A.y(y e. C -> y e. B) <-> A.x(x e. A -> A.y(y e. C -> y e. B)))
13		19.21v 1280	. . . . 5 |- (A.y(x e. A -> (y e. C -> y e. B)) <-> (x e. A -> A.y(y e. C -> y e. B)))
14	13	albii 996	. . . 4 |- (A.xA.y(x e. A -> (y e. C -> y e. B)) <-> A.x(x e. A -> A.y(y e. C -> y e. B)))
15		alcom 1028	. . . 4 |- (A.xA.y(x e. A -> (y e. C -> y e. B)) <-> A.yA.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
16	14, 15	bitr3 175	. . 3 |- (A.x(x e. A -> A.y(y e. C -> y e. B)) <-> A.yA.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
17	11, 12, 16	3bitr 177	. 2 |- (A.x e. A C (_ B <-> A.yA.x(x e. A -> (y e. C -> y e. B)))
18	8, 9, 17	3bitr4 183	1 |- (C (_ |^|_x e. A B <-> A.x e. A C (_ B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146  A.wal 951   e. wcel 955  A.wral 1637  Vcvv 1802   (_ wss 2037  |^|_ciin 2557

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-12 965  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ral 1641  df-v 1803  df-in 2041  df-ss 2043  df-iin 2559

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