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Theorem ssimaex 5791
Description: The existence of a subimage. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
ssimaex.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ssimaex  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " A
) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem ssimaex
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmres 5170 . . . . 5  |-  dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom  F )
21imaeq2i 5204 . . . 4  |-  ( F
" dom  ( F  |`  A ) )  =  ( F " ( A  i^i  dom  F )
)
3 imadmres 5365 . . . 4  |-  ( F
" dom  ( F  |`  A ) )  =  ( F " A
)
42, 3eqtr3i 2460 . . 3  |-  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) )  =  ( F " A
)
54sseq2i 3375 . 2  |-  ( B 
C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) )  <->  B  C_  ( F " A ) )
6 ssrab2 3430 . . . 4  |-  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F
)
7 ssel2 3345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F ) )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )
87adantll 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) ) )
9 fvelima 5781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  E. w  e.  ( A  i^i  dom  F ) ( F `  w )  =  z )
109ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
)  ->  E. w  e.  ( A  i^i  dom  F ) ( F `  w )  =  z ) )
1110adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  (
z  e.  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) )  ->  E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z ) )
12 eleq1a 2507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  B  ->  (
( F `  w
)  =  z  -> 
( F `  w
)  e.  B ) )
1312anim2d 550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `
 w )  e.  B ) ) )
14 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
1514eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  B  <->  ( F `  w )  e.  B
) )
1615elrab 3094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  <->  ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `
 w )  e.  B ) )
1713, 16syl6ibr 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) )
18 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `  w
)  =  z )  ->  ( F `  w )  =  z )
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  ( F `  w )  =  z ) )
2017, 19jcad 521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  ( w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  /\  ( F `  w )  =  z ) ) )
2120reximdv2 2817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  B  ->  ( E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z ) )
2221adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  ( E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z ) )
23 funfn 5485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
24 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
256, 24sstri 3359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  C_  dom  F
26 fvelimab 5785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  dom  F )  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
2725, 26mpan2 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z ) )
2823, 27sylbi 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
2928adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  (
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
3022, 29sylibrd 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  ( E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z  -> 
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) )
3111, 30syld 43 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  (
z  e.  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) )  -> 
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) )
3231adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
)  ->  z  e.  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) ) )
338, 32mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) )
3433ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  (
z  e.  B  -> 
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) )
35 fvelima 5781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) )  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z )
3635ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
37 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  w )  =  z  ->  (
( F `  w
)  e.  B  <->  z  e.  B ) )
3837biimpcd 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  w )  e.  B  ->  (
( F `  w
)  =  z  -> 
z  e.  B ) )
3938adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `  w
)  e.  B )  ->  ( ( F `
 w )  =  z  ->  z  e.  B ) )
4016, 39sylbi 189 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  (
( F `  w
)  =  z  -> 
z  e.  B ) )
4140rexlimiv 2826 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z  ->  z  e.  B )
4236, 41syl6 32 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  ->  z  e.  B ) )
4342adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  (
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } )  -> 
z  e.  B ) )
4434, 43impbid 185 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  (
z  e.  B  <->  z  e.  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) ) )
4544eqrdv 2436 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B } ) )
46 ssimaex.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
4746inex1 4347 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  dom  F )  e.  _V
4847rabex 4357 . . . . 5  |-  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  e.  _V
49 sseq1 3371 . . . . . 6  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  (
x  C_  ( A  i^i  dom  F )  <->  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F )
) )
50 imaeq2 5202 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  ( F " x )  =  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) )
5150eqeq2d 2449 . . . . . 6  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  ( B  =  ( F " x )  <->  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) ) )
5249, 51anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  (
( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " x ) )  <-> 
( { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) ) )
5348, 52spcev 3045 . . . 4  |-  ( ( { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) )  ->  E. x ( x 
C_  ( A  i^i  dom 
F )  /\  B  =  ( F "
x ) ) )
546, 45, 53sylancr 646 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  E. x
( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " x ) ) )
55 inss1 3563 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  dom  F )  C_  A
56 sstr 3358 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( A  i^i  dom  F
)  C_  A )  ->  x  C_  A )
5755, 56mpan2 654 . . . . 5  |-  ( x 
C_  ( A  i^i  dom 
F )  ->  x  C_  A )
5857anim1i 553 . . . 4  |-  ( ( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " x ) )  -> 
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
5958eximi 1586 . . 3  |-  ( E. x ( x  C_  ( A  i^i  dom  F
)  /\  B  =  ( F " x ) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
6054, 59syl 16 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
615, 60sylan2br 464 1  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " A
) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   dom cdm 4881    |` cres 4883   "cima 4884   Fun wfun 5451    Fn wfn 5452   ` cfv 5457
This theorem is referenced by:  ssimaexg  5792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-fv 5465
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