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Theorem ssimaex 5751
Description: The existence of a subimage. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
ssimaex.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ssimaex  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " A
) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem ssimaex
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmres 5130 . . . . 5  |-  dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom  F )
21imaeq2i 5164 . . . 4  |-  ( F
" dom  ( F  |`  A ) )  =  ( F " ( A  i^i  dom  F )
)
3 imadmres 5325 . . . 4  |-  ( F
" dom  ( F  |`  A ) )  =  ( F " A
)
42, 3eqtr3i 2430 . . 3  |-  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) )  =  ( F " A
)
54sseq2i 3337 . 2  |-  ( B 
C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) )  <->  B  C_  ( F " A ) )
6 ssrab2 3392 . . . 4  |-  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F
)
7 ssel2 3307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F ) )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )
87adantll 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) ) )
9 fvelima 5741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  E. w  e.  ( A  i^i  dom  F ) ( F `  w )  =  z )
109ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
)  ->  E. w  e.  ( A  i^i  dom  F ) ( F `  w )  =  z ) )
1110adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  (
z  e.  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) )  ->  E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z ) )
12 eleq1a 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  B  ->  (
( F `  w
)  =  z  -> 
( F `  w
)  e.  B ) )
1312anim2d 549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `
 w )  e.  B ) ) )
14 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
1514eleq1d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  B  <->  ( F `  w )  e.  B
) )
1615elrab 3056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  <->  ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `
 w )  e.  B ) )
1713, 16syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) )
18 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `  w
)  =  z )  ->  ( F `  w )  =  z )
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  ( F `  w )  =  z ) )
2017, 19jcad 520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  ( w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  /\  ( F `  w )  =  z ) ) )
2120reximdv2 2779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  B  ->  ( E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z ) )
2221adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  ( E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z ) )
23 funfn 5445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
24 inss2 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
256, 24sstri 3321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  C_  dom  F
26 fvelimab 5745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  dom  F )  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
2725, 26mpan2 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z ) )
2823, 27sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
2928adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  (
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
3022, 29sylibrd 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  ( E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z  -> 
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) )
3111, 30syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  (
z  e.  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) )  -> 
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) )
3231adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
)  ->  z  e.  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) ) )
338, 32mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) )
3433ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  (
z  e.  B  -> 
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) )
35 fvelima 5741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) )  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z )
3635ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
37 eleq1 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  w )  =  z  ->  (
( F `  w
)  e.  B  <->  z  e.  B ) )
3837biimpcd 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  w )  e.  B  ->  (
( F `  w
)  =  z  -> 
z  e.  B ) )
3938adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `  w
)  e.  B )  ->  ( ( F `
 w )  =  z  ->  z  e.  B ) )
4016, 39sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  (
( F `  w
)  =  z  -> 
z  e.  B ) )
4140rexlimiv 2788 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z  ->  z  e.  B )
4236, 41syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  ->  z  e.  B ) )
4342adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  (
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } )  -> 
z  e.  B ) )
4434, 43impbid 184 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  (
z  e.  B  <->  z  e.  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) ) )
4544eqrdv 2406 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B } ) )
46 ssimaex.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
4746inex1 4308 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  dom  F )  e.  _V
4847rabex 4318 . . . . 5  |-  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  e.  _V
49 sseq1 3333 . . . . . 6  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  (
x  C_  ( A  i^i  dom  F )  <->  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F )
) )
50 imaeq2 5162 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  ( F " x )  =  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) )
5150eqeq2d 2419 . . . . . 6  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  ( B  =  ( F " x )  <->  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) ) )
5249, 51anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  (
( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " x ) )  <-> 
( { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) ) )
5348, 52spcev 3007 . . . 4  |-  ( ( { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) )  ->  E. x ( x 
C_  ( A  i^i  dom 
F )  /\  B  =  ( F "
x ) ) )
546, 45, 53sylancr 645 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  E. x
( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " x ) ) )
55 inss1 3525 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  dom  F )  C_  A
56 sstr 3320 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( A  i^i  dom  F
)  C_  A )  ->  x  C_  A )
5755, 56mpan2 653 . . . . 5  |-  ( x 
C_  ( A  i^i  dom 
F )  ->  x  C_  A )
5857anim1i 552 . . . 4  |-  ( ( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " x ) )  -> 
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
5958eximi 1582 . . 3  |-  ( E. x ( x  C_  ( A  i^i  dom  F
)  /\  B  =  ( F " x ) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
6054, 59syl 16 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
615, 60sylan2br 463 1  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " A
) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2671   {crab 2674   _Vcvv 2920    i^i cin 3283    C_ wss 3284   dom cdm 4841    |` cres 4843   "cima 4844   Fun wfun 5411    Fn wfn 5412   ` cfv 5417
This theorem is referenced by:  ssimaexg  5752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pr 4367
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-fv 5425
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