HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ssjo Structured version   Unicode version

Theorem ssjo 22951
Description: The lattice join of a subset with its orthocomplement is the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ssjo  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A  vH  ( _|_ `  A
) )  =  ~H )

Proof of Theorem ssjo
StepHypRef Expression
1 ocss 22789 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  C_  ~H )
2 sshjval 22854 . . 3  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  ( _|_ `  A )  C_  ~H )  ->  ( A  vH  ( _|_ `  A
) )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) ) ) )
31, 2mpdan 651 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A  vH  ( _|_ `  A
) )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) ) ) )
4 ssun1 3512 . . . . . . . 8  |-  A  C_  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )
51ancli 536 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A 
C_  ~H  /\  ( _|_ `  A )  C_  ~H ) )
6 unss 3523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  ( _|_ `  A )  C_  ~H )  <->  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )  C_  ~H )
75, 6sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A  u.  ( _|_ `  A
) )  C_  ~H )
8 occon 22791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )  C_  ~H )  ->  ( A 
C_  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  C_  ( _|_ `  A ) ) )
97, 8mpdan 651 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A 
C_  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  C_  ( _|_ `  A ) ) )
104, 9mpi 17 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  C_  ( _|_ `  A ) )
11 ssun2 3513 . . . . . . . 8  |-  ( _|_ `  A )  C_  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )
12 occon 22791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _|_ `  A
)  C_  ~H  /\  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )  C_  ~H )  ->  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) ) )
131, 7, 12syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( _|_ `  A ) 
C_  ( A  u.  ( _|_ `  A ) )  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) ) )
1411, 13mpi 17 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )
1510, 14ssind 3567 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  C_  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) ) )
16 ocsh 22787 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  A )  e.  SH )
17 ocin 22800 . . . . . . 7  |-  ( ( _|_ `  A )  e.  SH  ->  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( _|_ `  ( _|_ `  A
) ) )  =  0H )
1816, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( _|_ `  ( _|_ `  A ) ) )  =  0H )
1915, 18sseqtrd 3386 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  C_  0H )
20 ocsh 22787 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  ( _|_ `  A ) )  C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  e.  SH )
21 sh0le 22944 . . . . . 6  |-  ( ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A
) ) )  e.  SH  ->  0H  C_  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) ) )
227, 20, 213syl 19 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~H  ->  0H  C_  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A
) ) ) )
2319, 22eqssd 3367 . . . 4  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) )  =  0H )
2423fveq2d 5734 . . 3  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) ) )  =  ( _|_ `  0H ) )
25 choc0 22830 . . 3  |-  ( _|_ `  0H )  =  ~H
2624, 25syl6eq 2486 . 2  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  ( _|_ `  A ) ) ) )  =  ~H )
273, 26eqtrd 2470 1  |-  ( A 
C_  ~H  ->  ( A  vH  ( _|_ `  A
) )  =  ~H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   ~Hchil 22424   SHcsh 22433   _|_cort 22435    vH chj 22438   0Hc0h 22440
This theorem is referenced by:  chjoi  22992
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072  ax-hilex 22504  ax-hfvadd 22505  ax-hvcom 22506  ax-hvass 22507  ax-hv0cl 22508  ax-hvaddid 22509  ax-hfvmul 22510  ax-hvmulid 22511  ax-hvmulass 22512  ax-hvdistr1 22513  ax-hvdistr2 22514  ax-hvmul0 22515  ax-hfi 22583  ax-his1 22586  ax-his2 22587  ax-his3 22588  ax-his4 22589
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-lm 17295  df-haus 17381  df-grpo 21781  df-gid 21782  df-ginv 21783  df-gdiv 21784  df-ablo 21872  df-vc 22027  df-nv 22073  df-va 22076  df-ba 22077  df-sm 22078  df-0v 22079  df-vs 22080  df-nmcv 22081  df-ims 22082  df-hnorm 22473  df-hvsub 22476  df-hlim 22477  df-sh 22711  df-ch 22726  df-oc 22756  df-ch0 22757  df-chj 22814
  Copyright terms: Public domain W3C validator