MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssn0 Structured version   Unicode version

Theorem ssn0 3652
Description: A class with a nonempty subclass is nonempty. (Contributed by NM, 17-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
ssn0  |-  ( ( A  C_  B  /\  A  =/=  (/) )  ->  B  =/=  (/) )

Proof of Theorem ssn0
StepHypRef Expression
1 sseq0 3651 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
21ex 424 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  ( B  =  (/)  ->  A  =  (/) ) )
32necon3d 2636 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  =/=  (/)  ->  B  =/=  (/) ) )
43imp 419 1  |-  ( ( A  C_  B  /\  A  =/=  (/) )  ->  B  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    =/= wne 2598    C_ wss 3312   (/)c0 3620
This theorem is referenced by:  unixp0  5395  frxp  6448  onfununi  6595  carddomi2  7849  fin23lem21  8211  wunex2  8605  vdwmc2  13339  gsumval2  14775  subgint  14956  subrgint  15882  hausnei2  17409  fbun  17864  fbfinnfr  17865  filuni  17909  isufil2  17932  ufileu  17943  filufint  17944  fmfnfm  17982  hausflim  18005  flimclslem  18008  fclsneii  18041  fclsbas  18045  fclsrest  18048  fclscf  18049  fclsfnflim  18051  flimfnfcls  18052  fclscmp  18054  ufilcmp  18056  isfcf  18058  fcfnei  18059  clssubg  18130  ustfilxp  18234  metustfbasOLD  18587  metustfbas  18588  restmetu  18609  reperflem  18841  metdseq0  18876  relcmpcmet  19261  bcthlem5  19273  minveclem4a  19323  dvlip  19869  imadifxp  24030  frmin  25509  neibastop1  26369  neibastop2  26371  heibor1lem  26499  isnumbasabl  27229  dfacbasgrp  27231  stoweidlem35  27741  stoweidlem39  27745  bnj970  29245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-v 2950  df-dif 3315  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621
  Copyright terms: Public domain W3C validator