MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnlim Unicode version

Theorem ssnlim 4753
Description: An ordinal subclass of non-limit ordinals is a class of natural numbers. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 2-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ssnlim  |-  ( ( Ord  A  /\  A  C_ 
{ x  e.  On  |  -.  Lim  x }
)  ->  A  C_  om )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem ssnlim
StepHypRef Expression
1 limom 4750 . . . 4  |-  Lim  om
2 ssel 3250 . . . . 5  |-  ( A 
C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  ->  ( om  e.  A  ->  om  e.  { x  e.  On  |  -.  Lim  x } ) )
3 limeq 4483 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  om  ->  ( Lim  x  <->  Lim  om ) )
43notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  ( -.  Lim  x  <->  -.  Lim  om ) )
54elrab 2999 . . . . . 6  |-  ( om  e.  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  <->  ( om  e.  On  /\  -.  Lim  om ) )
65simprbi 450 . . . . 5  |-  ( om  e.  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  ->  -.  Lim  om )
72, 6syl6 29 . . . 4  |-  ( A 
C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  ->  ( om  e.  A  ->  -.  Lim  om ) )
81, 7mt2i 110 . . 3  |-  ( A 
C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  ->  -.  om  e.  A )
98adantl 452 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  A  C_ 
{ x  e.  On  |  -.  Lim  x }
)  ->  -.  om  e.  A )
10 ordom 4744 . . . 4  |-  Ord  om
11 ordtri1 4504 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  om )  ->  ( A  C_ 
om 
<->  -.  om  e.  A
) )
1210, 11mpan2 652 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  C_ 
om 
<->  -.  om  e.  A
) )
1312adantr 451 . 2  |-  ( ( Ord  A  /\  A  C_ 
{ x  e.  On  |  -.  Lim  x }
)  ->  ( A  C_ 
om 
<->  -.  om  e.  A
) )
149, 13mpbird 223 1  |-  ( ( Ord  A  /\  A  C_ 
{ x  e.  On  |  -.  Lim  x }
)  ->  A  C_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   {crab 2623    C_ wss 3228   Ord word 4470   Oncon0 4471   Lim wlim 4472   omcom 4735
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736
  Copyright terms: Public domain W3C validator