Theorem ssnlim 3162

Description: An ordinal subclass of non-limit ordinals is a class of natural numbers. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
ssnlim	|- ((Ord A /\ A (_ {x e. On | -. Lim x}) -> A (_ om)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem ssnlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 3141	. . . 4 |- Lim om
2		ssel 2059	. . . . 5 |- (A (_ {x e. On | -. Lim x} -> (om e. A -> om e. {x e. On | -. Lim x}))
3		limeq 2955	. . . . . . . 8 |- (x = om -> (Lim x <-> Lim om))
4	3	negbid 610	. . . . . . 7 |- (x = om -> (-. Lim x <-> -. Lim om))
5	4	elrab 1901	. . . . . 6 |- (om e. {x e. On | -. Lim x} <-> (om e. On /\ -. Lim om))
6	5	pm3.27bi 326	. . . . 5 |- (om e. {x e. On | -. Lim x} -> -. Lim om)
7	2, 6	syl6 22	. . . 4 |- (A (_ {x e. On | -. Lim x} -> (om e. A -> -. Lim om))
8	1, 7	mt2i 110	. . 3 |- (A (_ {x e. On | -. Lim x} -> -. om e. A)
9	8	adantl 388	. 2 |- ((Ord A /\ A (_ {x e. On | -. Lim x}) -> -. om e. A)
10		ordom 3136	. . . 4 |- Ord om
11		ordtri1 2975	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord om) -> (A (_ om <-> -. om e. A))
12	10, 11	mpan2 695	. . 3 |- (Ord A -> (A (_ om <-> -. om e. A))
13	12	adantr 389	. 2 |- ((Ord A /\ A (_ {x e. On | -. Lim x}) -> (A (_ om <-> -. om e. A))
14	9, 13	mpbird 196	1 |- ((Ord A /\ A (_ {x e. On | -. Lim x}) -> A (_ om)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  {crab 1645   (_ wss 2043  Ord word 2942  Oncon0 2943  Lim wlim 2944  omcom 3126

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127

Copyright terms: Public domain