MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnnfi Unicode version

Theorem ssnnfi 7082
Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ssnnfi  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem ssnnfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspss 3275 . . 3  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  C.  A  \/  B  =  A ) )
2 pssnn 7081 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x )
3 elnn 4666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  A  e.  om )  ->  x  e.  om )
43expcom 424 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  om )
)
54anim1d 547 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( x  e.  A  /\  B  ~~  x )  ->  ( x  e. 
om  /\  B  ~~  x ) ) )
65reximdv2 2652 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  A  B  ~~  x  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x
) )
76adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  -> 
( E. x  e.  A  B  ~~  x  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x ) )
82, 7mpd 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
9 eleq1 2343 . . . . . 6  |-  ( B  =  A  ->  ( B  e.  om  <->  A  e.  om ) )
109biimparc 473 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  =  A )  ->  B  e.  om )
11 enrefg 6893 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  B  ~~  B )
1211ancli 534 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  e.  om  /\  B  ~~  B ) )
13 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( B  ~~  x  <->  B  ~~  B ) )
1413rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  B  ~~  B )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
1510, 12, 143syl 18 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  =  A )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
168, 15jaodan 760 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  C.  A  \/  B  =  A )
)  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x
)
171, 16sylan2b 461 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
18 isfi 6885 . 2  |-  ( B  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  B  ~~  x
)
1917, 18sylibr 203 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    C_ wss 3152    C. wpss 3153   class class class wbr 4023   omcom 4656    ~~ cen 6860   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  ssfi  7083  0fin  7087  en1eqsn  7088  isfinite2  7115  pwfi  7151  wofib  7260  infpwfien  7689  fin67  8021  hashcard  11349  rexpen  12506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-en 6864  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator