MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnnfi Structured version   Unicode version

Theorem ssnnfi 7328
Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ssnnfi  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem ssnnfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspss 3446 . . 3  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  C.  A  \/  B  =  A ) )
2 pssnn 7327 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  E. x  e.  A  B  ~~  x )
3 elnn 4855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  A  e.  om )  ->  x  e.  om )
43expcom 425 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  om )
)
54anim1d 548 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( x  e.  A  /\  B  ~~  x )  ->  ( x  e. 
om  /\  B  ~~  x ) ) )
65reximdv2 2815 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  A  B  ~~  x  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x
) )
76adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  -> 
( E. x  e.  A  B  ~~  x  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x ) )
82, 7mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
9 eleq1 2496 . . . . . 6  |-  ( B  =  A  ->  ( B  e.  om  <->  A  e.  om ) )
109biimparc 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  =  A )  ->  B  e.  om )
11 enrefg 7139 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  B  ~~  B )
1211ancli 535 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  e.  om  /\  B  ~~  B ) )
13 breq2 4216 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( B  ~~  x  <->  B  ~~  B ) )
1413rspcev 3052 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  B  ~~  B )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
1510, 12, 143syl 19 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  =  A )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
168, 15jaodan 761 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  ( B  C.  A  \/  B  =  A )
)  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x
)
171, 16sylan2b 462 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A )  ->  E. x  e.  om  B  ~~  x )
18 isfi 7131 . 2  |-  ( B  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  B  ~~  x
)
1917, 18sylibr 204 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706    C_ wss 3320    C. wpss 3321   class class class wbr 4212   omcom 4845    ~~ cen 7106   Fincfn 7109
This theorem is referenced by:  ssfi  7329  0fin  7336  en1eqsn  7338  isfinite2  7365  pwfi  7402  wofib  7514  infpwfien  7943  fin67  8275  hashcard  11638  rexpen  12827
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-en 7110  df-fin 7113
  Copyright terms: Public domain W3C validator