MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssnum Structured version   Unicode version

Theorem ssnum 7920
Description: A subset of a numerable set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssnum  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  dom  card )

Proof of Theorem ssnum
StepHypRef Expression
1 ssdomg 7153 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
21imp 419 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  C_  A )  ->  B  ~<_  A )
3 numdom 7919 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  dom  card )
42, 3syldan 457 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  dom  card )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   dom cdm 4878    ~<_ cdom 7107   cardccrd 7822
This theorem is referenced by:  onssnum  7921  numacn  7930  dfac12r  8026  infdif  8089  fin23lem22  8207  ttukey2g  8396  smobeth  8461  canthnumlem  8523  gchac  8548  tskurn  8664  lbsextlem4  16233  1stcrestlem  17515  2ndcsep  17522  filssufilg  17943  ptcmplem2  18084  ptcmplem3  18085  ttac  27107
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-riota 6549  df-recs 6633  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-card 7826
  Copyright terms: Public domain W3C validator