Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssoninhaus Structured version   Unicode version

Theorem ssoninhaus 26203
Description: The ordinal topologies  1o and  2o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssoninhaus  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )

Proof of Theorem ssoninhaus
StepHypRef Expression
1 1on 6734 . . 3  |-  1o  e.  On
2 2on 6735 . . 3  |-  2o  e.  On
3 prssi 3956 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  2o  e.  On )  ->  { 1o ,  2o }  C_  On )
41, 2, 3mp2an 655 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  On
5 df1o2 6739 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
6 pw0 3947 . . . . 5  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
75, 6eqtr4i 2461 . . . 4  |-  1o  =  ~P (/)
8 0ex 4342 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
9 dishaus 17451 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ~P (/)  e.  Haus )
108, 9ax-mp 5 . . . 4  |-  ~P (/)  e.  Haus
117, 10eqeltri 2508 . . 3  |-  1o  e.  Haus
12 df2o2 6741 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
13 pwpw0 3948 . . . . 5  |-  ~P { (/)
}  =  { (/) ,  { (/) } }
1412, 13eqtr4i 2461 . . . 4  |-  2o  =  ~P { (/) }
15 p0ex 4389 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
16 dishaus 17451 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  e.  _V  ->  ~P { (/) }  e.  Haus )
1715, 16ax-mp 5 . . . 4  |-  ~P { (/)
}  e.  Haus
1814, 17eqeltri 2508 . . 3  |-  2o  e.  Haus
19 prssi 3956 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  Haus  /\  2o  e.  Haus )  ->  { 1o ,  2o }  C_  Haus )
2011, 18, 19mp2an 655 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  Haus
214, 20ssini 3566 1  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816   {cpr 3817   Oncon0 4584   1oc1o 6720   2oc2o 6721   Hauscha 17377
This theorem is referenced by:  onint1  26204  oninhaus  26205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-suc 4590  df-1o 6727  df-2o 6728  df-top 16968  df-haus 17384
  Copyright terms: Public domain W3C validator