Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssoninhaus Unicode version

Theorem ssoninhaus 25714
Description: The ordinal topologies  1o and  2o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssoninhaus  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )

Proof of Theorem ssoninhaus
StepHypRef Expression
1 1on 6628 . . 3  |-  1o  e.  On
2 2on 6629 . . 3  |-  2o  e.  On
3 prssi 3869 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  2o  e.  On )  ->  { 1o ,  2o }  C_  On )
41, 2, 3mp2an 653 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  On
5 df1o2 6633 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
6 pw0 3860 . . . . 5  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
75, 6eqtr4i 2389 . . . 4  |-  1o  =  ~P (/)
8 0ex 4252 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
9 dishaus 17327 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ~P (/)  e.  Haus )
108, 9ax-mp 8 . . . 4  |-  ~P (/)  e.  Haus
117, 10eqeltri 2436 . . 3  |-  1o  e.  Haus
12 df2o2 6635 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
13 pwpw0 3861 . . . . 5  |-  ~P { (/)
}  =  { (/) ,  { (/) } }
1412, 13eqtr4i 2389 . . . 4  |-  2o  =  ~P { (/) }
15 p0ex 4299 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
16 dishaus 17327 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  e.  _V  ->  ~P { (/) }  e.  Haus )
1715, 16ax-mp 8 . . . 4  |-  ~P { (/)
}  e.  Haus
1814, 17eqeltri 2436 . . 3  |-  2o  e.  Haus
19 prssi 3869 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  Haus  /\  2o  e.  Haus )  ->  { 1o ,  2o }  C_  Haus )
2011, 18, 19mp2an 653 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  Haus
214, 20ssini 3480 1  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1715   _Vcvv 2873    i^i cin 3237    C_ wss 3238   (/)c0 3543   ~Pcpw 3714   {csn 3729   {cpr 3730   Oncon0 4495   1oc1o 6614   2oc2o 6615   Hauscha 17253
This theorem is referenced by:  onint1  25715  oninhaus  25716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-suc 4501  df-1o 6621  df-2o 6622  df-top 16853  df-haus 17260
  Copyright terms: Public domain W3C validator