Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssoninhaus Unicode version

Theorem ssoninhaus 24887
Description: The ordinal topologies  1o and  2o are Hausdorff. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssoninhaus  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )

Proof of Theorem ssoninhaus
StepHypRef Expression
1 1on 6486 . . 3  |-  1o  e.  On
2 2on 6487 . . 3  |-  2o  e.  On
3 prssi 3771 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  2o  e.  On )  ->  { 1o ,  2o }  C_  On )
41, 2, 3mp2an 653 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  On
5 df1o2 6491 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
6 pw0 3762 . . . . 5  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
75, 6eqtr4i 2306 . . . 4  |-  1o  =  ~P (/)
8 0ex 4150 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
9 dishaus 17110 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ~P (/)  e.  Haus )
108, 9ax-mp 8 . . . 4  |-  ~P (/)  e.  Haus
117, 10eqeltri 2353 . . 3  |-  1o  e.  Haus
12 df2o2 6493 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
13 pwpw0 3763 . . . . 5  |-  ~P { (/)
}  =  { (/) ,  { (/) } }
1412, 13eqtr4i 2306 . . . 4  |-  2o  =  ~P { (/) }
15 p0ex 4197 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  _V
16 dishaus 17110 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  e.  _V  ->  ~P { (/) }  e.  Haus )
1715, 16ax-mp 8 . . . 4  |-  ~P { (/)
}  e.  Haus
1814, 17eqeltri 2353 . . 3  |-  2o  e.  Haus
19 prssi 3771 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  Haus  /\  2o  e.  Haus )  ->  { 1o ,  2o }  C_  Haus )
2011, 18, 19mp2an 653 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  Haus
214, 20ssini 3392 1  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   {cpr 3641   Oncon0 4392   1oc1o 6472   2oc2o 6473   Hauscha 17036
This theorem is referenced by:  onint1  24888  oninhaus  24889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-1o 6479  df-2o 6480  df-top 16636  df-haus 17043
  Copyright terms: Public domain W3C validator