MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssoprab2b Unicode version

Theorem ssoprab2b 5905
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. Compare ssopab2b 4291. (Contributed by FL, 6-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
ssoprab2b  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y A. z ( ph  ->  ps ) )

Proof of Theorem ssoprab2b
StepHypRef Expression
1 nfoprab1 5897 . . . 4  |-  F/_ x { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
2 nfoprab1 5897 . . . 4  |-  F/_ x { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }
31, 2nfss 3173 . . 3  |-  F/ x { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }
4 nfoprab2 5898 . . . . 5  |-  F/_ y { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
5 nfoprab2 5898 . . . . 5  |-  F/_ y { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }
64, 5nfss 3173 . . . 4  |-  F/ y { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }
7 nfoprab3 5899 . . . . . 6  |-  F/_ z { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
8 nfoprab3 5899 . . . . . 6  |-  F/_ z { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }
97, 8nfss 3173 . . . . 5  |-  F/ z { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }
10 ssel 3174 . . . . . 6  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph }  ->  <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps } ) )
11 oprabid 5882 . . . . . 6  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  <->  ph )
12 oprabid 5882 . . . . . 6  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ps }  <->  ps )
1310, 11, 123imtr3g 260 . . . . 5  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  ( ph  ->  ps ) )
149, 13alrimi 1745 . . . 4  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  A. z ( ph  ->  ps ) )
156, 14alrimi 1745 . . 3  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  A. y A. z
( ph  ->  ps )
)
163, 15alrimi 1745 . 2  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps }  ->  A. x A. y A. z ( ph  ->  ps ) )
17 ssoprab2 5904 . 2  |-  ( A. x A. y A. z
( ph  ->  ps )  ->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps } )
1816, 17impbii 180 1  |-  ( {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ps } 
<-> 
A. x A. y A. z ( ph  ->  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1527    e. wcel 1684    C_ wss 3152   <.cop 3643   {coprab 5859
This theorem is referenced by:  eqoprab2b  5906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-oprab 5862
  Copyright terms: Public domain W3C validator