Theorem ssorduni 2999

Description: The union of a class of ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.19 of [TakeutiZaring] p. 40.

Assertion

Ref	Expression
ssorduni	|- (A (_ On -> Ord U.A)

Proof of Theorem ssorduni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 2993	. . 3 |- Ord On
2		trssord 2971	. . . 4 |- ((Tr U.A /\ U.A (_ On /\ Ord On) -> Ord U.A)
3	2	3exp 834	. . 3 |- (Tr U.A -> (U.A (_ On -> (Ord On -> Ord U.A)))
4	1, 3	mpii 45	. 2 |- (Tr U.A -> (U.A (_ On -> Ord U.A))
5		ssel 2066	. . . . . . . . 9 |- (A (_ On -> (y e. A -> y e. On))
6		eloni 2964	. . . . . . . . . 10 |- (y e. On -> Ord y)
7		ordtr 2968	. . . . . . . . . 10 |- (Ord y -> Tr y)
8		trss 2694	. . . . . . . . . 10 |- (Tr y -> (x e. y -> x (_ y))
9	6, 7, 8	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- (y e. On -> (x e. y -> x (_ y))
10	5, 9	syl6 22	. . . . . . . 8 |- (A (_ On -> (y e. A -> (x e. y -> x (_ y)))
11		anc2r 301	. . . . . . . 8 |- ((y e. A -> (x e. y -> x (_ y)) -> (y e. A -> (x e. y -> (x (_ y /\ y e. A))))
12	10, 11	syl 10	. . . . . . 7 |- (A (_ On -> (y e. A -> (x e. y -> (x (_ y /\ y e. A))))
13		ssuni 2526	. . . . . . 7 |- ((x (_ y /\ y e. A) -> x (_ U.A)
14	12, 13	syl8 24	. . . . . 6 |- (A (_ On -> (y e. A -> (x e. y -> x (_ U.A)))
15	14	r19.23adv 1749	. . . . 5 |- (A (_ On -> (E.y e. A x e. y -> x (_ U.A))
16		eluni2 2511	. . . . 5 |- (x e. U.A <-> E.y e. A x e. y)
17	15, 16	syl5ib 206	. . . 4 |- (A (_ On -> (x e. U.A -> x (_ U.A))
18	17	r19.21aiv 1716	. . 3 |- (A (_ On -> A.x e. U.Ax (_ U.A)
19		dftr3 2689	. . 3 |- (Tr U.A <-> A.x e. U.Ax (_ U.A)
20	18, 19	sylibr 200	. 2 |- (A (_ On -> Tr U.A)
21		ordelord 2976	. . . . . . . . 9 |- ((Ord y /\ x e. y) -> Ord x)
22	21	ex 373	. . . . . . . 8 |- (Ord y -> (x e. y -> Ord x))
23		visset 1816	. . . . . . . . 9 |- x e. V
24	23	elon 2963	. . . . . . . 8 |- (x e. On <-> Ord x)
25	22, 24	syl6ibr 213	. . . . . . 7 |- (Ord y -> (x e. y -> x e. On))
26	6, 25	syl 10	. . . . . 6 |- (y e. On -> (x e. y -> x e. On))
27	5, 26	syl6 22	. . . . 5 |- (A (_ On -> (y e. A -> (x e. y -> x e. On)))
28	27	r19.23adv 1749	. . . 4 |- (A (_ On -> (E.y e. A x e. y -> x e. On))
29	28, 16	syl5ib 206	. . 3 |- (A (_ On -> (x e. U.A -> x e. On))
30	29	ssrdv 2073	. 2 |- (A (_ On -> U.A (_ On)
31	4, 20, 30	sylc 68	1 |- (A (_ On -> Ord U.A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   (_ wss 2050  U.cuni 2507  Tr wtr 2685  Ord word 2953  Oncon0 2954

This theorem is referenced by:  ssonunit 3000  orduni 3003  onsucuni 3091  limuni3 3129  tfrlem8 3924  unialeph 4906

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958

Copyright terms: Public domain