Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sspadd1 Structured version   Unicode version

Theorem sspadd1 30614
Description: A projective subspace sum is a superset of its first summand. (ssun1 3512 analog.) (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
padd0.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
sspadd1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  X  C_  ( X  .+  Y
) )

Proof of Theorem sspadd1
Dummy variables  q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun1 3512 . . 3  |-  X  C_  ( X  u.  Y
)
2 ssun1 3512 . . 3  |-  ( X  u.  Y )  C_  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } )
31, 2sstri 3359 . 2  |-  X  C_  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } )
4 eqid 2438 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
5 eqid 2438 . . 3  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
6 padd0.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 padd0.p . . 3  |-  .+  =  ( + P `  K
)
84, 5, 6, 7paddval 30597 . 2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } ) )
93, 8syl5sseqr 3399 1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  X  C_  ( X  .+  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   {crab 2711    u. cun 3320    C_ wss 3322   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   lecple 13538   joincjn 14403   Atomscatm 30063   + Pcpadd 30594
This theorem is referenced by:  paddasslem13  30631  paddasslem17  30635  paddidm  30640  paddssw2  30643  pmodlem1  30645  pmodlem2  30646  pmodl42N  30650  osumcllem1N  30755  osumcllem2N  30756  osumcllem10N  30764  pexmidlem6N  30774  pexmidlem7N  30775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-padd 30595
  Copyright terms: Public domain W3C validator