Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sspadd2 Unicode version

Theorem sspadd2 29823
Description: A projective subspace sum is a superset of its second summand. (ssun2 3373 analog.) (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
padd0.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
sspadd2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  X  C_  ( Y  .+  X
) )

Proof of Theorem sspadd2
Dummy variables  q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun2 3373 . . 3  |-  X  C_  ( Y  u.  X
)
2 ssun1 3372 . . 3  |-  ( Y  u.  X )  C_  ( ( Y  u.  X )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  Y  E. r  e.  X  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } )
31, 2sstri 3222 . 2  |-  X  C_  ( ( Y  u.  X )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  Y  E. r  e.  X  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } )
4 eqid 2316 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
5 eqid 2316 . . . 4  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
6 padd0.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 padd0.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
84, 5, 6, 7paddval 29805 . . 3  |-  ( ( K  e.  B  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  A )  ->  ( Y  .+  X )  =  ( ( Y  u.  X )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  Y  E. r  e.  X  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } ) )
983com23 1157 . 2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( Y  .+  X )  =  ( ( Y  u.  X )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  Y  E. r  e.  X  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } ) )
103, 9syl5sseqr 3261 1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  X  C_  ( Y  .+  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   E.wrex 2578   {crab 2581    u. cun 3184    C_ wss 3186   class class class wbr 4060   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   lecple 13262   joincjn 14127   Atomscatm 29271   + Pcpadd 29802
This theorem is referenced by:  paddasslem11  29837  paddasslem12  29838  paddssw2  29851  pmodlem2  29854  pmodl42N  29858  osumcllem10N  29972  pexmidlem7N  29983  pl42lem3N  29988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-padd 29803
  Copyright terms: Public domain W3C validator