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Theorem sspg 22219
Description: Vector addition on a subspace is a restriction of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspg.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
sspg.g  |-  G  =  ( +v `  U
)
sspg.f  |-  F  =  ( +v `  W
)
sspg.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
sspg  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) )

Proof of Theorem sspg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 sspg.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( +v `  U
)
31, 2nvgf 22089 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) --> ( BaseSet `  U
) )
4 ffun 5585 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet
`  U ) ) --> ( BaseSet `  U )  ->  Fun  G )
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Fun  G )
6 funres 5484 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
G  ->  Fun  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Fun  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
87adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  Fun  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
9 sspg.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( SubSp `  U )
109sspnv 22217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
11 sspg.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
12 sspg.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( +v `  W
)
1311, 12nvgf 22089 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  F : ( Y  X.  Y ) --> Y )
1410, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F : ( Y  X.  Y ) --> Y )
15 ffn 5583 . . . . . . . 8  |-  ( F : ( Y  X.  Y ) --> Y  ->  F  Fn  ( Y  X.  Y ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  Fn  ( Y  X.  Y
) )
17 fnresdm 5546 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  ( Y  X.  Y )  ->  ( F  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  F )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( F  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  F )
19 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
20 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
21 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
22 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
232, 12, 19, 20, 21, 22, 9isssp 22215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( W  e.  H  <->  ( W  e.  NrmCVec 
/\  ( F  C_  G  /\  ( .s OLD `  W )  C_  ( .s OLD `  U )  /\  ( normCV `  W
)  C_  ( normCV `  U
) ) ) ) )
2423simplbda 608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( F  C_  G  /\  ( .s OLD `  W ) 
C_  ( .s OLD `  U )  /\  ( normCV `  W )  C_  ( normCV `  U ) ) )
2524simp1d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  C_  G )
26 ssres 5164 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
C_  G  ->  ( F  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( F  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
2818, 27eqsstr3d 3375 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  C_  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
298, 16, 283jca 1134 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( Fun  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  /\  F  Fn  ( Y  X.  Y )  /\  F  C_  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
30 oprssov 6207 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) )  /\  F  Fn  ( Y  X.  Y
)  /\  F  C_  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x F y ) )
3129, 30sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x F y ) )
3231eqcomd 2440 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) y ) )
3332ralrimivva 2790 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y ) )
34 eqid 2435 . . 3  |-  ( Y  X.  Y )  =  ( Y  X.  Y
)
3533, 34jctil 524 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( Y  X.  Y
)  =  ( Y  X.  Y )  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  (
x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) y ) ) )
36 ffn 5583 . . . . . 6  |-  ( G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet
`  U ) ) --> ( BaseSet `  U )  ->  G  Fn  ( (
BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )
373, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  Fn  (
( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )
3837adantr 452 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  G  Fn  ( ( BaseSet `  U
)  X.  ( BaseSet `  U ) ) )
391, 11, 9sspba 22218 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  Y  C_  ( BaseSet `  U )
)
40 xpss12 4973 . . . . 5  |-  ( ( Y  C_  ( BaseSet `  U )  /\  Y  C_  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Y  X.  Y )  C_  (
( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )
4139, 39, 40syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  ( ( BaseSet `  U
)  X.  ( BaseSet `  U ) ) )
42 fnssres 5550 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  ( (
BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
)  /\  ( Y  X.  Y )  C_  (
( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y
) )
4338, 41, 42syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y
) )
44 eqfnov 6168 . . 3  |-  ( ( F  Fn  ( Y  X.  Y )  /\  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )  -> 
( F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  <->  ( ( Y  X.  Y )  =  ( Y  X.  Y
)  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y ) ) ) )
4516, 43, 44syl2anc 643 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) )  <->  ( ( Y  X.  Y )  =  ( Y  X.  Y
)  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y ) ) ) )
4635, 45mpbird 224 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312    X. cxp 4868    |` cres 4872   Fun wfun 5440    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   NrmCVeccnv 22055   +vcpv 22056   BaseSetcba 22057   .s
OLDcns 22058   normCVcnmcv 22061   SubSpcss 22212
This theorem is referenced by:  sspgval  22220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-grpo 21771  df-ablo 21862  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-nmcv 22071  df-ssp 22213
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