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Theorem sspg 22076
Description: Vector addition on a subspace is a restriction of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspg.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
sspg.g  |-  G  =  ( +v `  U
)
sspg.f  |-  F  =  ( +v `  W
)
sspg.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
sspg  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) )

Proof of Theorem sspg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
2 sspg.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( +v `  U
)
31, 2nvgf 21946 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) --> ( BaseSet `  U
) )
4 ffun 5534 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet
`  U ) ) --> ( BaseSet `  U )  ->  Fun  G )
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Fun  G )
6 funres 5433 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
G  ->  Fun  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Fun  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
87adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  Fun  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
9 sspg.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( SubSp `  U )
109sspnv 22074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
11 sspg.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
12 sspg.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( +v `  W
)
1311, 12nvgf 21946 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  F : ( Y  X.  Y ) --> Y )
1410, 13syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F : ( Y  X.  Y ) --> Y )
15 ffn 5532 . . . . . . . 8  |-  ( F : ( Y  X.  Y ) --> Y  ->  F  Fn  ( Y  X.  Y ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  Fn  ( Y  X.  Y
) )
17 fnresdm 5495 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  ( Y  X.  Y )  ->  ( F  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  F )
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( F  |`  ( Y  X.  Y ) )  =  F )
19 eqid 2388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
20 eqid 2388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
21 eqid 2388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
22 eqid 2388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
232, 12, 19, 20, 21, 22, 9isssp 22072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( W  e.  H  <->  ( W  e.  NrmCVec 
/\  ( F  C_  G  /\  ( .s OLD `  W )  C_  ( .s OLD `  U )  /\  ( normCV `  W
)  C_  ( normCV `  U
) ) ) ) )
2423simplbda 608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( F  C_  G  /\  ( .s OLD `  W ) 
C_  ( .s OLD `  U )  /\  ( normCV `  W )  C_  ( normCV `  U ) ) )
2524simp1d 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  C_  G )
26 ssres 5113 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
C_  G  ->  ( F  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( F  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
2818, 27eqsstr3d 3327 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  C_  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
298, 16, 283jca 1134 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( Fun  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  /\  F  Fn  ( Y  X.  Y )  /\  F  C_  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
30 oprssov 6155 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) )  /\  F  Fn  ( Y  X.  Y
)  /\  F  C_  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x F y ) )
3129, 30sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x F y ) )
3231eqcomd 2393 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) y ) )
3332ralrimivva 2742 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y ) )
34 eqid 2388 . . 3  |-  ( Y  X.  Y )  =  ( Y  X.  Y
)
3533, 34jctil 524 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( Y  X.  Y
)  =  ( Y  X.  Y )  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  (
x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) y ) ) )
36 ffn 5532 . . . . . 6  |-  ( G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet
`  U ) ) --> ( BaseSet `  U )  ->  G  Fn  ( (
BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )
373, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  Fn  (
( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )
3837adantr 452 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  G  Fn  ( ( BaseSet `  U
)  X.  ( BaseSet `  U ) ) )
391, 11, 9sspba 22075 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  Y  C_  ( BaseSet `  U )
)
40 xpss12 4922 . . . . 5  |-  ( ( Y  C_  ( BaseSet `  U )  /\  Y  C_  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Y  X.  Y )  C_  (
( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )
4139, 39, 40syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  ( ( BaseSet `  U
)  X.  ( BaseSet `  U ) ) )
42 fnssres 5499 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  ( (
BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
)  /\  ( Y  X.  Y )  C_  (
( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y
) )
4338, 41, 42syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y
) )
44 eqfnov 6116 . . 3  |-  ( ( F  Fn  ( Y  X.  Y )  /\  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )  -> 
( F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  <->  ( ( Y  X.  Y )  =  ( Y  X.  Y
)  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y ) ) ) )
4516, 43, 44syl2anc 643 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) )  <->  ( ( Y  X.  Y )  =  ( Y  X.  Y
)  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y ) ) ) )
4635, 45mpbird 224 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650    C_ wss 3264    X. cxp 4817    |` cres 4821   Fun wfun 5389    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   NrmCVeccnv 21912   +vcpv 21913   BaseSetcba 21914   .s
OLDcns 21915   normCVcnmcv 21918   SubSpcss 22069
This theorem is referenced by:  sspgval  22077
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-grpo 21628  df-ablo 21719  df-vc 21874  df-nv 21920  df-va 21923  df-ba 21924  df-sm 21925  df-0v 21926  df-nmcv 21928  df-ssp 22070
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