Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspg Unicode version

Theorem sspg 22076
 Description: Vector addition on a subspace is a restriction of vector addition on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspg.y
sspg.g
sspg.f
sspg.h
Assertion
Ref Expression
sspg

Proof of Theorem sspg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . . . . . . . . . . 11
2 sspg.g . . . . . . . . . . 11
31, 2nvgf 21946 . . . . . . . . . 10
4 ffun 5534 . . . . . . . . . 10
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9
6 funres 5433 . . . . . . . . 9
75, 6syl 16 . . . . . . . 8
87adantr 452 . . . . . . 7
9 sspg.h . . . . . . . . . 10
109sspnv 22074 . . . . . . . . 9
11 sspg.y . . . . . . . . . 10
12 sspg.f . . . . . . . . . 10
1311, 12nvgf 21946 . . . . . . . . 9
1410, 13syl 16 . . . . . . . 8
15 ffn 5532 . . . . . . . 8
1614, 15syl 16 . . . . . . 7
17 fnresdm 5495 . . . . . . . . 9
1816, 17syl 16 . . . . . . . 8
19 eqid 2388 . . . . . . . . . . . 12
20 eqid 2388 . . . . . . . . . . . 12
21 eqid 2388 . . . . . . . . . . . 12 CV CV
22 eqid 2388 . . . . . . . . . . . 12 CV CV
232, 12, 19, 20, 21, 22, 9isssp 22072 . . . . . . . . . . 11 CV CV
2423simplbda 608 . . . . . . . . . 10 CV CV
2524simp1d 969 . . . . . . . . 9
26 ssres 5113 . . . . . . . . 9
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8
2818, 27eqsstr3d 3327 . . . . . . 7
298, 16, 283jca 1134 . . . . . 6
30 oprssov 6155 . . . . . 6
3129, 30sylan 458 . . . . 5
3231eqcomd 2393 . . . 4
3332ralrimivva 2742 . . 3
34 eqid 2388 . . 3
3533, 34jctil 524 . 2
36 ffn 5532 . . . . . 6
373, 36syl 16 . . . . 5
3837adantr 452 . . . 4
391, 11, 9sspba 22075 . . . . 5
40 xpss12 4922 . . . . 5
4139, 39, 40syl2anc 643 . . . 4
42 fnssres 5499 . . . 4
4338, 41, 42syl2anc 643 . . 3
44 eqfnov 6116 . . 3
4516, 43, 44syl2anc 643 . 2
4635, 45mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1717  wral 2650   wss 3264   cxp 4817   cres 4821   wfun 5389   wfn 5390  wf 5391  cfv 5395  (class class class)co 6021  cnv 21912  cpv 21913  cba 21914  cns 21915  CVcnmcv 21918  css 22069 This theorem is referenced by:  sspgval  22077 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-grpo 21628  df-ablo 21719  df-vc 21874  df-nv 21920  df-va 21923  df-ba 21924  df-sm 21925  df-0v 21926  df-nmcv 21928  df-ssp 22070
 Copyright terms: Public domain W3C validator