MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspi Structured version   Unicode version

Theorem sspi 22240
Description: The inner product on a subspace is a restriction of the inner product on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
sspi.p  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
sspi.q  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
sspi.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
sspi  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  Q  =  ( P  |`  ( Y  X.  Y
) ) )

Proof of Theorem sspi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspi.y . 2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
2 sspi.h . 2  |-  H  =  ( SubSp `  U )
3 sspi.p . . 3  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
4 sspi.q . . 3  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
51, 3, 4, 2sspival 22239 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x Q y )  =  ( x P y ) )
61, 4ipf 22214 . 2  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  Q : ( Y  X.  Y ) --> CC )
7 eqid 2438 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
87, 3ipf 22214 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) --> CC )
91, 2, 5, 6, 8sspmlem 22233 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  Q  =  ( P  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    X. cxp 4878    |` cres 4882   ` cfv 5456   CCcc 8990   NrmCVeccnv 22065   BaseSetcba 22067   .i
OLDcdip 22198   SubSpcss 22222
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-grpo 21781  df-ablo 21872  df-vc 22027  df-nv 22073  df-va 22076  df-ba 22077  df-sm 22078  df-0v 22079  df-nmcv 22081  df-dip 22199  df-ssp 22223
  Copyright terms: Public domain W3C validator