Theorem sspid 8253

Description: A normed complex vector space is a subspace of itself.

Hypothesis

Ref	Expression
sspid.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
sspid	|- (U e. NrmCVec -> U e. H)

Proof of Theorem sspid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 2051	. . . 4 |- (+v` U) (_ (+v` U)
2		ssid 2051	. . . 4 |- (.s` U) (_ (.s` U)
3		ssid 2051	. . . 4 |- (norm` U) (_ (norm` U)
4	1, 2, 3	3pm3.2i 815	. . 3 |- ((+v` U) (_ (+v` U) /\ (.s` U) (_ (.s` U) /\ (norm` U) (_ (norm` U))
5	4	jctr 291	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (U e. NrmCVec /\ ((+v` U) (_ (+v` U) /\ (.s` U) (_ (.s` U) /\ (norm` U) (_ (norm` U))))
6		eqid 1452	. . 3 |- (+v` U) = (+v` U)
7		eqid 1452	. . 3 |- (.s` U) = (.s` U)
8		eqid 1452	. . 3 |- (norm` U) = (norm` U)
9		sspid.h	. . 3 |- H = (SubSp` U)
10	6, 6, 7, 7, 8, 8, 9	isssp 8252	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (U e. H <-> (U e. NrmCVec /\ ((+v` U) (_ (+v` U) /\ (.s` U) (_ (.s` U) /\ (norm` U) (_ (norm` U)))))
11	5, 10	mpbird 196	1 |- (U e. NrmCVec -> U e. H)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 772   = wceq 1099   e. wcel 1105   (_ wss 2018  ` cfv 3145  NrmCVeccnv 8084  +vcpv 8085  .scns 8087  normcnm 8090  SubSpcss 8249

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-rab 1628  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-id 2797  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-fo 3159  df-fv 3161  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-nv 8092  df-va 8094  df-sm 8096  df-nm 8099  df-ssp 8250

Copyright terms: Public domain