Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspimsval Structured version   Unicode version

Theorem sspimsval 22239
 Description: The induced metric on a subspace in terms of the induced metric on the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspims.y
sspims.d
sspims.c
sspims.h
Assertion
Ref Expression
sspimsval

Proof of Theorem sspimsval
StepHypRef Expression
1 sspims.h . . . . . 6
21sspnv 22225 . . . . 5
3 sspims.y . . . . . . 7
4 eqid 2436 . . . . . . 7
53, 4nvmcl 22128 . . . . . 6
653expb 1154 . . . . 5
72, 6sylan 458 . . . 4
8 eqid 2436 . . . . . 6 CV CV
9 eqid 2436 . . . . . 6 CV CV
103, 8, 9, 1sspnval 22236 . . . . 5 CV CV
11103expa 1153 . . . 4 CV CV
127, 11syldan 457 . . 3 CV CV
13 eqid 2436 . . . . 5
143, 13, 4, 1sspmval 22232 . . . 4
1514fveq2d 5732 . . 3 CV CV
1612, 15eqtrd 2468 . 2 CV CV
17 sspims.c . . . . 5
183, 4, 9, 17imsdval 22178 . . . 4 CV
19183expb 1154 . . 3 CV
202, 19sylan 458 . 2 CV
21 eqid 2436 . . . . . . 7
2221, 3, 1sspba 22226 . . . . . 6
2322sseld 3347 . . . . 5
2422sseld 3347 . . . . 5
2523, 24anim12d 547 . . . 4
2625imp 419 . . 3
27 sspims.d . . . . . 6
2821, 13, 8, 27imsdval 22178 . . . . 5 CV
29283expb 1154 . . . 4 CV
3029adantlr 696 . . 3 CV
3126, 30syldan 457 . 2 CV
3216, 20, 313eqtr4d 2478 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5454  (class class class)co 6081  cnv 22063  cba 22065  cnsb 22068  CVcnmcv 22069  cims 22070  css 22220 This theorem is referenced by:  sspims  22240 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-sub 9293  df-neg 9294  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ims 22080  df-ssp 22221
 Copyright terms: Public domain W3C validator