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Theorem sspival 22237
Description: The inner product on a subspace in terms of the inner product on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
sspi.p  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
sspi.q  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
sspi.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
sspival  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A Q B )  =  ( A P B ) )

Proof of Theorem sspival
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9049 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  e.  CC
2 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  ->  k  e.  NN )
32nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  ->  k  e.  NN0 )
4 expcl 11399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
51, 3, 4sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
65anim1i 552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 4 )  /\  B  e.  Y )  ->  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) )
76anim2i 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Y  /\  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )
87anass1rs 783 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
)  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )
9 sspi.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( SubSp `  U )
109sspnv 22225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
11 sspi.y . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
12 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
1311, 12nvscl 22107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
_i ^ k )  e.  CC  /\  B  e.  Y )  ->  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  e.  Y )
14133expib 1156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( ( ( _i ^ k )  e.  CC  /\  B  e.  Y )  ->  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  e.  Y ) )
1514anim2d 549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( ( A  e.  Y  /\  (
( _i ^ k
)  e.  CC  /\  B  e.  Y )
)  ->  ( A  e.  Y  /\  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  e.  Y ) ) )
1615imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B )  e.  Y
) )
17 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
1811, 17nvgcl 22099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  A  e.  Y  /\  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  e.  Y )  -> 
( A ( +v
`  W ) ( ( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B ) )  e.  Y )
19183expb 1154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B )  e.  Y
) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  e.  Y )
2016, 19syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  e.  Y )
2110, 20sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  e.  Y )
22 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
23 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
2411, 22, 23, 9sspnval 22236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  e.  Y )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( A
( +v `  W
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) )
25243expa 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A ( +v
`  W ) ( ( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B ) )  e.  Y )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) )
2621, 25syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) )
2710, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y )  ->  ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B )  e.  Y ) )
2827anim2d 549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) )  ->  ( A  e.  Y  /\  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  e.  Y ) ) )
2928imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B )  e.  Y
) )
30 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3111, 30, 17, 9sspgval 22228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B )  e.  Y
) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  =  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B ) ) )
3229, 31syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  =  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B ) ) )
33 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
3411, 33, 12, 9sspsval 22230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) )  ->  ( (
_i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B )  =  ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  U ) B ) )
3534adantrl 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  =  ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) )
3635oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  =  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  U ) B ) ) )
3732, 36eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  =  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  U ) B ) ) )
3837fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) )
3926, 38eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) )
408, 39sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y )  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) ) )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( A
( +v `  W
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) )
4140anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  H
)  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y ) )  /\  k  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) )
4241oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  H
)  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y ) )  /\  k  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )
4342oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  H
)  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y ) )  /\  k  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
4443sumeq2dv 12497 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
4544oveq1d 6096 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( ( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
46 sspi.q . . . . 5  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
4711, 17, 12, 23, 46ipval 22199 . . . 4  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  A  e.  Y  /\  B  e.  Y )  ->  ( A Q B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  W
) `  ( A
( +v `  W
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
48473expb 1154 . . 3  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y )
)  ->  ( A Q B )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  W
) `  ( A
( +v `  W
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
4910, 48sylan 458 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A Q B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  W
) `  ( A
( +v `  W
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
50 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
5150, 11, 9sspba 22226 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  Y  C_  ( BaseSet `  U )
)
5251sseld 3347 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( A  e.  Y  ->  A  e.  ( BaseSet `  U
) ) )
5351sseld 3347 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( B  e.  Y  ->  B  e.  ( BaseSet `  U
) ) )
5452, 53anim12d 547 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
)  ->  ( A  e.  ( BaseSet `  U )  /\  B  e.  ( BaseSet
`  U ) ) ) )
5554imp 419 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A  e.  ( BaseSet `  U )  /\  B  e.  ( BaseSet `  U )
) )
56 sspi.p . . . . . 6  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
5750, 30, 33, 22, 56ipval 22199 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  ( BaseSet `  U )  /\  B  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( A P B )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
58573expb 1154 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  ( BaseSet `  U )  /\  B  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  ( A P B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
5958adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  (
BaseSet `  U )  /\  B  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  ->  ( A P B )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
6055, 59syldan 457 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A P B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
6145, 49, 603eqtr4d 2478 1  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A Q B )  =  ( A P B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   1c1 8991   _ici 8992    x. cmul 8995    / cdiv 9677   2c2 10049   4c4 10051   NN0cn0 10221   ...cfz 11043   ^cexp 11382   sum_csu 12479   NrmCVeccnv 22063   +vcpv 22064   BaseSetcba 22065   .s OLDcns 22066   normCVcnmcv 22069   .i OLDcdip 22196   SubSpcss 22220
This theorem is referenced by:  sspi  22238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-sum 12480  df-grpo 21779  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-nmcv 22079  df-dip 22197  df-ssp 22221
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