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Theorem sspival 21314
Description: The inner product on a subspace in terms of the inner product on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspi.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
sspi.p  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
sspi.q  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
sspi.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
sspival  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A Q B )  =  ( A P B ) )

Proof of Theorem sspival
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-icn 8796 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  e.  CC
2 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  ->  k  e.  NN )
32nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  ->  k  e.  NN0 )
4 expcl 11121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
51, 3, 4sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
65anim1i 551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 4 )  /\  B  e.  Y )  ->  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) )
76anim2i 552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Y  /\  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )
87anass1rs 782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
)  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) )  ->  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )
9 sspi.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( SubSp `  U )
109sspnv 21302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
11 sspi.y . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
12 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
1311, 12nvscl 21184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
_i ^ k )  e.  CC  /\  B  e.  Y )  ->  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  e.  Y )
14133expib 1154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( ( ( _i ^ k )  e.  CC  /\  B  e.  Y )  ->  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  e.  Y ) )
1514anim2d 548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( ( A  e.  Y  /\  (
( _i ^ k
)  e.  CC  /\  B  e.  Y )
)  ->  ( A  e.  Y  /\  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  e.  Y ) ) )
1615imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B )  e.  Y
) )
17 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
1811, 17nvgcl 21176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  A  e.  Y  /\  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  e.  Y )  -> 
( A ( +v
`  W ) ( ( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B ) )  e.  Y )
19183expb 1152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B )  e.  Y
) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  e.  Y )
2016, 19syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  e.  Y )
2110, 20sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  e.  Y )
22 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
23 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
2411, 22, 23, 9sspnval 21313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  e.  Y )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( A
( +v `  W
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) )
25243expa 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A ( +v
`  W ) ( ( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B ) )  e.  Y )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) )
2621, 25syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) )
2710, 14syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y )  ->  ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B )  e.  Y ) )
2827anim2d 548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) )  ->  ( A  e.  Y  /\  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  e.  Y ) ) )
2928imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B )  e.  Y
) )
30 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3111, 30, 17, 9sspgval 21305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B )  e.  Y
) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  =  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B ) ) )
3229, 31syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  =  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  W ) B ) ) )
33 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
3411, 33, 12, 9sspsval 21307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) )  ->  ( (
_i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B )  =  ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  U ) B ) )
3534adantrl 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  (
( _i ^ k
) ( .s OLD `  W ) B )  =  ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) )
3635oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  =  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  U ) B ) ) )
3732, 36eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) )  =  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^
k ) ( .s
OLD `  U ) B ) ) )
3837fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  (
( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) )
3926, 38eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  ( ( _i ^
k )  e.  CC  /\  B  e.  Y ) ) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) )
408, 39sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y )  /\  k  e.  ( 1 ... 4
) ) )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( A
( +v `  W
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) )
4140anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  H
)  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y ) )  /\  k  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) )
4241oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  H
)  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y ) )  /\  k  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )
4342oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( ( ( U  e.  NrmCVec 
/\  W  e.  H
)  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y ) )  /\  k  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
4443sumeq2dv 12176 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
4544oveq1d 5873 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( ( normCV `  W ) `  ( A ( +v `  W ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( ( normCV `  U ) `  ( A ( +v `  U ) ( ( _i ^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
46 sspi.q . . . . 5  |-  Q  =  ( .i OLD `  W
)
4711, 17, 12, 23, 46ipval 21276 . . . 4  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  A  e.  Y  /\  B  e.  Y )  ->  ( A Q B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  W
) `  ( A
( +v `  W
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
48473expb 1152 . . 3  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y )
)  ->  ( A Q B )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  W
) `  ( A
( +v `  W
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
4910, 48sylan 457 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A Q B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  W
) `  ( A
( +v `  W
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
50 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
5150, 11, 9sspba 21303 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  Y  C_  ( BaseSet `  U )
)
5251sseld 3179 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( A  e.  Y  ->  A  e.  ( BaseSet `  U
) ) )
5351sseld 3179 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( B  e.  Y  ->  B  e.  ( BaseSet `  U
) ) )
5452, 53anim12d 546 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
)  ->  ( A  e.  ( BaseSet `  U )  /\  B  e.  ( BaseSet
`  U ) ) ) )
5554imp 418 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A  e.  ( BaseSet `  U )  /\  B  e.  ( BaseSet `  U )
) )
56 sspi.p . . . . . 6  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
5750, 30, 33, 22, 56ipval 21276 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  ( BaseSet `  U )  /\  B  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( A P B )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
58573expb 1152 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A  e.  ( BaseSet `  U )  /\  B  e.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  ( A P B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
5958adantlr 695 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  (
BaseSet `  U )  /\  B  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  ->  ( A P B )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
6055, 59syldan 456 . 2  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A P B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( ( normCV `  U
) `  ( A
( +v `  U
) ( ( _i
^ k ) ( .s OLD `  U
) B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
6145, 49, 603eqtr4d 2325 1  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( A Q B )  =  ( A P B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   1c1 8738   _ici 8739    x. cmul 8742    / cdiv 9423   2c2 9795   4c4 9797   NN0cn0 9965   ...cfz 10782   ^cexp 11104   sum_csu 12158   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s OLDcns 21143   normCVcnmcv 21146   .i OLDcdip 21273   SubSpcss 21297
This theorem is referenced by:  sspi  21315
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-sum 12159  df-grpo 20858  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-nmcv 21156  df-dip 21274  df-ssp 21298
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