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Theorem sspmlem 21308
Description: Lemma for sspm 21310 and others. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspmlem.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
sspmlem.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
sspmlem.1  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x F y )  =  ( x G y ) )
sspmlem.2  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  F : ( Y  X.  Y ) --> R )
sspmlem.3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) --> S )
Assertion
Ref Expression
sspmlem  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y    x, H, y    x, U, y   
x, W, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( x, y)    S( x, y)

Proof of Theorem sspmlem
StepHypRef Expression
1 sspmlem.1 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x F y )  =  ( x G y ) )
2 ovres 5987 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x G y ) )
32adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y )  =  ( x G y ) )
41, 3eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) y ) )
54ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y ) )
6 eqid 2283 . . 3  |-  ( Y  X.  Y )  =  ( Y  X.  Y
)
75, 6jctil 523 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( Y  X.  Y
)  =  ( Y  X.  Y )  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  (
x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y ) ) y ) ) )
8 sspmlem.h . . . . 5  |-  H  =  ( SubSp `  U )
98sspnv 21302 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
10 sspmlem.2 . . . 4  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  F : ( Y  X.  Y ) --> R )
11 ffn 5389 . . . 4  |-  ( F : ( Y  X.  Y ) --> R  ->  F  Fn  ( Y  X.  Y ) )
129, 10, 113syl 18 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  Fn  ( Y  X.  Y
) )
13 sspmlem.3 . . . . . 6  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) --> S )
14 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( G : ( ( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet
`  U ) ) --> S  ->  G  Fn  ( ( BaseSet `  U
)  X.  ( BaseSet `  U ) ) )
1513, 14syl 15 . . . . 5  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  G  Fn  (
( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )
1615adantr 451 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  G  Fn  ( ( BaseSet `  U
)  X.  ( BaseSet `  U ) ) )
17 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
18 sspmlem.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
1917, 18, 8sspba 21303 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  Y  C_  ( BaseSet `  U )
)
20 xpss12 4792 . . . . 5  |-  ( ( Y  C_  ( BaseSet `  U )  /\  Y  C_  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( Y  X.  Y )  C_  (
( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )
2119, 19, 20syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  ( ( BaseSet `  U
)  X.  ( BaseSet `  U ) ) )
22 fnssres 5357 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  ( (
BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
)  /\  ( Y  X.  Y )  C_  (
( BaseSet `  U )  X.  ( BaseSet `  U )
) )  ->  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y
) )
2316, 21, 22syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y
) )
24 eqfnov 5950 . . 3  |-  ( ( F  Fn  ( Y  X.  Y )  /\  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  Fn  ( Y  X.  Y ) )  -> 
( F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y ) )  <->  ( ( Y  X.  Y )  =  ( Y  X.  Y
)  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y ) ) ) )
2512, 23, 24syl2anc 642 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) )  <->  ( ( Y  X.  Y )  =  ( Y  X.  Y
)  /\  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( x F y )  =  ( x ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) y ) ) ) )
267, 25mpbird 223 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  F  =  ( G  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152    X. cxp 4687    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   NrmCVeccnv 21140   BaseSetcba 21142   SubSpcss 21297
This theorem is referenced by:  sspm  21310  sspi  21315  sspims  21317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-nmcv 21156  df-ssp 21298
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