Theorem sspmval 8388

Description: Vector addition on a subspace in terms of vector addition on the parent space.

Hypotheses

Ref	Expression
sspm.y	|- Y = (Base` W)
sspm.m	|- M = (-v` U)
sspm.l	|- L = (-v` W)
sspm.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
sspmval	|- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ALB) = (AMB))

Proof of Theorem sspmval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspm.h	. . . . . . . 8 |- H = (SubSp` U)
2	1	sspnv 8381	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> W e. NrmCVec)
3		ax1cn 5281	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
4	3	negcl 5381	. . . . . . . . 9 |- -u1 e. CC
5		sspm.y	. . . . . . . . . 10 |- Y = (Base` W)
6		eqid 1478	. . . . . . . . . 10 |- (.s` W) = (.s` W)
7	5, 6	nvscl 8243	. . . . . . . . 9 |- ((W e. NrmCVec /\ -u1 e. CC /\ B e. Y) -> (-u1(.s` W)B) e. Y)
8	4, 7	mp3an2 906	. . . . . . . 8 |- ((W e. NrmCVec /\ B e. Y) -> (-u1(.s` W)B) e. Y)
9	8	ex 373	. . . . . . 7 |- (W e. NrmCVec -> (B e. Y -> (-u1(.s` W)B) e. Y))
10	2, 9	syl 10	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (B e. Y -> (-u1(.s` W)B) e. Y))
11	10	anim2d 563	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> ((A e. Y /\ B e. Y) -> (A e. Y /\ (-u1(.s` W)B) e. Y)))
12	11	imp 350	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A e. Y /\ (-u1(.s` W)B) e. Y))
13		eqid 1478	. . . . 5 |- (+v` U) = (+v` U)
14		eqid 1478	. . . . 5 |- (+v` W) = (+v` W)
15	5, 13, 14, 1	sspgval 8384	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ (-u1(.s` W)B) e. Y)) -> (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)) = (A(+v` U)(-u1(.s` W)B)))
16	12, 15	syldan 469	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)) = (A(+v` U)(-u1(.s` W)B)))
17		eqid 1478	. . . . . . 7 |- (.s` U) = (.s` U)
18	5, 17, 6, 1	sspsval 8386	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (-u1 e. CC /\ B e. Y)) -> (-u1(.s` W)B) = (-u1(.s` U)B))
19	4, 18	mpanr1 711	. . . . 5 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ B e. Y) -> (-u1(.s` W)B) = (-u1(.s` U)B))
20	19	adantrl 396	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (-u1(.s` W)B) = (-u1(.s` U)B))
21	20	opreq2d 3982	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A(+v` U)(-u1(.s` W)B)) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
22	16, 21	eqtrd 1510	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
23		sspm.l	. . . . 5 |- L = (-v` W)
24	5, 14, 6, 23	nvmval 8259	. . . 4 |- ((W e. NrmCVec /\ A e. Y /\ B e. Y) -> (ALB) = (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)))
25	24	3expb 836	. . 3 |- ((W e. NrmCVec /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ALB) = (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)))
26	25, 2	sylan 450	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ALB) = (A(+v` W)(-u1(.s` W)B)))
27		eqid 1478	. . . . . . 7 |- (Base` U) = (Base` U)
28	27, 5, 1	sspba 8382	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> Y (_ (Base` U))
29	28	sseld 2070	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (A e. Y -> A e. (Base` U)))
30	28	sseld 2070	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> (B e. Y -> B e. (Base` U)))
31	29, 30	anim12d 560	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> ((A e. Y /\ B e. Y) -> (A e. (Base` U) /\ B e. (Base` U))))
32	31	imp 350	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (A e. (Base` U) /\ B e. (Base` U)))
33		sspm.m	. . . . . 6 |- M = (-v` U)
34	27, 13, 17, 33	nvmval 8259	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. (Base` U) /\ B e. (Base` U)) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
35	34	3expb 836	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. (Base` U) /\ B e. (Base` U))) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
36	35	adantlr 395	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. (Base` U) /\ B e. (Base` U))) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
37	32, 36	syldan 469	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
38	22, 26, 37	3eqtr4d 1520	1 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. H) /\ (A e. Y /\ B e. Y)) -> (ALB) = (AMB))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  1c1 5247  -ucneg 5305  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  .scns 8202  -vcnsb 8204  SubSpcss 8376

This theorem is referenced by:  sspm 8389  sspz 8390  sspimsval 8395  sspph 8511  minveclem28 8568

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ssp 8377

Copyright terms: Public domain