Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspn Structured version   Unicode version

Theorem sspn 22227
 Description: The norm on a subspace is a restriction of the norm on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspn.y
sspn.n CV
sspn.m CV
sspn.h
Assertion
Ref Expression
sspn

Proof of Theorem sspn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspn.h . . . . 5
21sspnv 22217 . . . 4
3 sspn.y . . . . 5
4 sspn.m . . . . 5 CV
53, 4nvf 22139 . . . 4
62, 5syl 16 . . 3
7 ffn 5583 . . 3
86, 7syl 16 . 2
9 eqid 2435 . . . . . 6
10 sspn.n . . . . . 6 CV
119, 10nvf 22139 . . . . 5
12 ffn 5583 . . . . 5
1311, 12syl 16 . . . 4
159, 3, 1sspba 22218 . . 3
16 fnssres 5550 . . 3
1714, 15, 16syl2anc 643 . 2
18 ffun 5585 . . . . . . 7
1911, 18syl 16 . . . . . 6
20 funres 5484 . . . . . 6
2119, 20syl 16 . . . . 5
2221ad2antrr 707 . . . 4
23 fnresdm 5546 . . . . . . 7
248, 23syl 16 . . . . . 6
25 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
26 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
27 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
28 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
2925, 26, 27, 28, 10, 4, 1isssp 22215 . . . . . . . . 9
3029simplbda 608 . . . . . . . 8
3130simp3d 971 . . . . . . 7
32 ssres 5164 . . . . . . 7
3331, 32syl 16 . . . . . 6
3424, 33eqsstr3d 3375 . . . . 5
3534adantr 452 . . . 4
36 fdm 5587 . . . . . . . 8
375, 36syl 16 . . . . . . 7
3837eleq2d 2502 . . . . . 6
3938biimpar 472 . . . . 5
402, 39sylan 458 . . . 4
41 funssfv 5738 . . . 4
4222, 35, 40, 41syl3anc 1184 . . 3
4342eqcomd 2440 . 2
448, 17, 43eqfnfvd 5822 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wss 3312   cdm 4870   cres 4872   wfun 5440   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  cr 8981  cnv 22055  cpv 22056  cba 22057  cns 22058  CVcnmcv 22061  css 22212 This theorem is referenced by:  sspnval  22228 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-nmcv 22071  df-ssp 22213
 Copyright terms: Public domain W3C validator