Theorem sspnv 8319

Description: A subspace is a normed complex vector space.

Hypothesis

Ref	Expression
sspnv.h	|- H = (SubSp` U)

Assertion

Ref	Expression
sspnv	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> W e. NrmCVec)

Proof of Theorem sspnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1468	. . 3 |- (+v` U) = (+v` U)
2		eqid 1468	. . 3 |- (+v` W) = (+v` W)
3		eqid 1468	. . 3 |- (.s` U) = (.s` U)
4		eqid 1468	. . 3 |- (.s` W) = (.s` W)
5		eqid 1468	. . 3 |- (norm` U) = (norm` U)
6		eqid 1468	. . 3 |- (norm` W) = (norm` W)
7		sspnv.h	. . 3 |- H = (SubSp` U)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	isssp 8317	. 2 |- (U e. NrmCVec -> (W e. H <-> (W e. NrmCVec /\ ((+v` W) (_ (+v` U) /\ (.s` W) (_ (.s` U) /\ (norm` W) (_ (norm` U)))))
9	8	pm3.26bda 420	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. H) -> W e. NrmCVec)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   (_ wss 2037  ` cfv 3172  NrmCVeccnv 8141  +vcpv 8142  .scns 8144  normcnm 8147  SubSpcss 8314

This theorem is referenced by:  sspg 8321  ssps 8323  sspmlem 8325  sspmval 8326  sspz 8328  sspn 8329  sspival 8331  sspimsval 8333  sspph 8446  minveclem1 8476  minveclem9 8484  minveclem28 8503  minveclem29 8504  minvecex 8509  hhshsslem1 9057  hhshsslem2 9058

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fo 3186  df-fv 3188  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-nv 8149  df-va 8152  df-sm 8154  df-nm 8157  df-ssp 8315

Copyright terms: Public domain