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Theorem sspph 21449
Description: A subspace of an inner product space is an inner product space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sspph.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
sspph  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  CPreHil OLD )

Proof of Theorem sspph
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phnv 21408 . . 3  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
2 sspph.h . . . 4  |-  H  =  ( SubSp `  U )
32sspnv 21318 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
41, 3sylan 457 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
5 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
6 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
75, 6, 2sspba 21319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( BaseSet
`  W )  C_  ( BaseSet `  U )
)
87sseld 3192 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  W )  ->  x  e.  ( BaseSet `  U )
) )
97sseld 3192 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
y  e.  ( BaseSet `  W )  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
) )
108, 9anim12d 546 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( x  e.  (
BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) ) )
111, 10sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  ( ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) ) )
1211imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )
13 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
14 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
15 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
165, 13, 14, 15phpar2 21417 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
17163expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  ->  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y
) ^ 2 ) ) ) )
1817adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
1912, 18syldan 456 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
20 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
216, 20nvgcl 21192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( x ( +v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
22213expb 1152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
x ( +v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )
233, 22sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( +v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
24 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
256, 15, 24, 2sspnval 21329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  (
x ( +v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) )
26253expa 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x ( +v
`  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  W ) y ) ) )
2723, 26syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
x ( +v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) )
2827oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 ) )
296, 13, 20, 2sspgval 21321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( +v `  W ) y )  =  ( x ( +v `  U ) y ) )
3029fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) )
3130oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )
3228, 31eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )
33 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -v
`  W )  =  ( -v `  W
)
346, 33nvmcl 21221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( x ( -v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
35343expb 1152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
x ( -v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )
363, 35sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( -v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
376, 15, 24, 2sspnval 21329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  (
x ( -v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) )
38373expa 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x ( -v
`  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( x
( -v `  W
) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) )
3936, 38syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) )
406, 14, 33, 2sspmval 21325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( -v `  W ) y )  =  ( x ( -v `  U ) y ) )
4140fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) )
4239, 41eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) )
4342oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )
4432, 43oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( ( ( normCV `  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) ) )
451, 44sylanl1 631 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) ) )
466, 15, 24, 2sspnval 21329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  x  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  x
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )
47463expa 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  x
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )
4847adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  x
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )
4948oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  x ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 ) )
506, 15, 24, 2sspnval 21329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  y
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  y ) )
51503expa 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  y
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  y ) )
5251adantrl 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  y
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  y ) )
5352oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  y ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) )
5449, 53oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x
) ^ 2 )  +  ( ( (
normCV
`  U ) `  y ) ^ 2 ) ) )
551, 54sylanl1 631 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  W
) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U
) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y
) ^ 2 ) ) )
5655oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( ( normCV `  U ) `  x
) ^ 2 )  +  ( ( (
normCV
`  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
5719, 45, 563eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
5857ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  A. x  e.  (
BaseSet `  W ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( ( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
596, 20, 33, 24isph 21416 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil OLD  <->  ( W  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  (
BaseSet `  W ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( ( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
604, 58, 59sylanbrc 645 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  CPreHil OLD )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    + caddc 8756    x. cmul 8758   2c2 9811   ^cexp 11120   NrmCVeccnv 21156   +vcpv 21157   BaseSetcba 21158   -vcnsb 21161   normCVcnmcv 21162   SubSpcss 21313   CPreHil OLDccphlo 21406
This theorem is referenced by:  ssphl  21512  hhssph  21867
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055  df-neg 9056  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ssp 21314  df-ph 21407
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