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Theorem sspph 21433
Description: A subspace of an inner product space is an inner product space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
sspph.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
sspph  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  CPreHil OLD )

Proof of Theorem sspph
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phnv 21392 . . 3  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
2 sspph.h . . . 4  |-  H  =  ( SubSp `  U )
32sspnv 21302 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
41, 3sylan 457 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
5 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
6 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
75, 6, 2sspba 21303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( BaseSet
`  W )  C_  ( BaseSet `  U )
)
87sseld 3179 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
x  e.  ( BaseSet `  W )  ->  x  e.  ( BaseSet `  U )
) )
97sseld 3179 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
y  e.  ( BaseSet `  W )  ->  y  e.  ( BaseSet `  U )
) )
108, 9anim12d 546 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  (
( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( x  e.  (
BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) ) )
111, 10sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  ( ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) ) )
1211imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )
13 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
14 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
15 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
165, 13, 14, 15phpar2 21401 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
17163expb 1152 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  y  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  ->  ( ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U
) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y
) ^ 2 ) ) ) )
1817adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
1912, 18syldan 456 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
20 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
216, 20nvgcl 21176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( x ( +v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
22213expb 1152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
x ( +v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )
233, 22sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( +v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
24 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
256, 15, 24, 2sspnval 21313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  (
x ( +v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) )
26253expa 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x ( +v
`  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  W ) y ) ) )
2723, 26syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
x ( +v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) )
2827oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 ) )
296, 13, 20, 2sspgval 21305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( +v `  W ) y )  =  ( x ( +v `  U ) y ) )
3029fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) )
3130oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )
3228, 31eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( +v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )
33 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -v
`  W )  =  ( -v `  W
)
346, 33nvmcl 21205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( x ( -v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
35343expb 1152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
) )  ->  (
x ( -v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )
363, 35sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( -v `  W ) y )  e.  (
BaseSet `  W ) )
376, 15, 24, 2sspnval 21313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  (
x ( -v `  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) )
38373expa 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x ( -v
`  W ) y )  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( x
( -v `  W
) y ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) )
3936, 38syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) )
406, 14, 33, 2sspmval 21309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( x ( -v `  W ) y )  =  ( x ( -v `  U ) y ) )
4140fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) )
4239, 41eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) )
4342oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) )
4432, 43oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( ( ( normCV `  W ) `  ( x ( +v
`  W ) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  ( x ( -v
`  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( +v `  U ) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) y ) ) ^ 2 ) ) )
451, 44sylanl1 631 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U
) `  ( x
( +v `  U
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) y ) ) ^ 2 ) ) )
466, 15, 24, 2sspnval 21313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  x  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  x
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )
47463expa 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  x
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )
4847adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  x
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  x ) )
4948oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  x ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  x ) ^ 2 ) )
506, 15, 24, 2sspnval 21313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H  /\  y  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  y
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  y ) )
51503expa 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  y
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  y ) )
5251adantrl 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  y
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  y ) )
5352oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( (
normCV
`  W ) `  y ) ^ 2 )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  y ) ^ 2 ) )
5449, 53oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  (
BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet `  W ) ) )  ->  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U ) `  x
) ^ 2 )  +  ( ( (
normCV
`  U ) `  y ) ^ 2 ) ) )
551, 54sylanl1 631 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  W
) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( normCV `  U
) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  U ) `  y
) ^ 2 ) ) )
5655oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( ( normCV `  U ) `  x
) ^ 2 )  +  ( ( (
normCV
`  U ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
5719, 45, 563eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  CPreHil OLD 
/\  W  e.  H
)  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  W )  /\  y  e.  ( BaseSet
`  W ) ) )  ->  ( (
( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
5857ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  A. x  e.  (
BaseSet `  W ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( ( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) ) )
596, 20, 33, 24isph 21400 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil OLD  <->  ( W  e.  NrmCVec 
/\  A. x  e.  (
BaseSet `  W ) A. y  e.  ( BaseSet `  W ) ( ( ( ( normCV `  W
) `  ( x
( +v `  W
) y ) ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  (
x ( -v `  W ) y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( normCV `  W ) `  x ) ^ 2 )  +  ( ( ( normCV `  W ) `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
604, 58, 59sylanbrc 645 1  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  CPreHil OLD )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    + caddc 8740    x. cmul 8742   2c2 9795   ^cexp 11104   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   -vcnsb 21145   normCVcnmcv 21146   SubSpcss 21297   CPreHil OLDccphlo 21390
This theorem is referenced by:  ssphl  21496  hhssph  21851
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039  df-neg 9040  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ssp 21298  df-ph 21391
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