Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sspval Structured version   Unicode version

Theorem sspval 22214
 Description: The set of all subspaces of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 26-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspval.g
sspval.s
sspval.n CV
sspval.h
Assertion
Ref Expression
sspval CV
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem sspval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspval.h . 2
2 fveq2 5720 . . . . . . 7
3 sspval.g . . . . . . 7
42, 3syl6eqr 2485 . . . . . 6
54sseq2d 3368 . . . . 5
6 fveq2 5720 . . . . . . 7
7 sspval.s . . . . . . 7
86, 7syl6eqr 2485 . . . . . 6
98sseq2d 3368 . . . . 5
10 fveq2 5720 . . . . . . 7 CV CV
11 sspval.n . . . . . . 7 CV
1210, 11syl6eqr 2485 . . . . . 6 CV
1312sseq2d 3368 . . . . 5 CV CV CV
145, 9, 133anbi123d 1254 . . . 4 CV CV CV
1514rabbidv 2940 . . 3 CV CV CV
16 df-ssp 22213 . . 3 CV CV
17 fvex 5734 . . . . . . . 8
183, 17eqeltri 2505 . . . . . . 7
1918pwex 4374 . . . . . 6
20 fvex 5734 . . . . . . . 8
217, 20eqeltri 2505 . . . . . . 7
2221pwex 4374 . . . . . 6
2319, 22xpex 4982 . . . . 5
24 fvex 5734 . . . . . . 7 CV
2511, 24eqeltri 2505 . . . . . 6
2625pwex 4374 . . . . 5
2723, 26xpex 4982 . . . 4
28 rabss 3412 . . . . 5 CV CV
29 fvex 5734 . . . . . . . . . 10
3029elpw 3797 . . . . . . . . 9
31 fvex 5734 . . . . . . . . . 10
3231elpw 3797 . . . . . . . . 9
33 opelxpi 4902 . . . . . . . . 9
3430, 32, 33syl2anbr 467 . . . . . . . 8
35 fvex 5734 . . . . . . . . . 10 CV
3635elpw 3797 . . . . . . . . 9 CV CV
3736biimpri 198 . . . . . . . 8 CV CV
38 opelxpi 4902 . . . . . . . 8 CV CV
3934, 37, 38syl2an 464 . . . . . . 7 CV CV
40393impa 1148 . . . . . 6 CV CV
41 eqid 2435 . . . . . . . 8
42 eqid 2435 . . . . . . . 8
43 eqid 2435 . . . . . . . 8 CV CV
4441, 42, 43nvop 22158 . . . . . . 7 CV
4544eleq1d 2501 . . . . . 6 CV
4640, 45syl5ibr 213 . . . . 5 CV
4728, 46mprgbir 2768 . . . 4 CV
4827, 47ssexi 4340 . . 3 CV
4915, 16, 48fvmpt 5798 . 2 CV
501, 49syl5eq 2479 1 CV
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  crab 2701  cvv 2948   wss 3312  cpw 3791  cop 3809   cxp 4868  cfv 5446  cnv 22055  cpv 22056  cns 22058  CVcnmcv 22061  css 22212 This theorem is referenced by:  isssp  22215 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fo 5452  df-fv 5454  df-oprab 6077  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-sm 22068  df-nmcv 22071  df-ssp 22213
 Copyright terms: Public domain W3C validator