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Theorem ssralv2VD 29040
Description: Quantification restricted to a subclass for two quantifiers. ssralv 3409 for two quantifiers. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. ssralv2 28677 is ssralv2VD 29040 without virtual deductions and was automatically derived from ssralv2VD 29040.
1::  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  ->.  ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ).
2::  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->.  A. x  e.  B A. y  e.  D ph ).
3:1:  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  ->.  A  C_  B ).
4:3,2:  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->.  A. x  e.  A A. y  e.  D ph ).
5:4:  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->.  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  D ph ) ).
6:5:  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->.  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  D ph ) ).
7::  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph ,  x  e.  A  ->.  x  e.  A ).
8:7,6:  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph ,  x  e.  A  ->.  A. y  e.  D ph ).
9:1:  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  ->.  C  C_  D ).
10:9,8:  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph ,  x  e.  A  ->.  A. y  e.  C ph ).
11:10:  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->.  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  C ph ) ).
12::  |-  ( ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  ->  A. x ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) )
13::  |-  ( A. x  e.  B A. y  e.  D ph  ->  A. x A. x  e.  B A. y  e.  D ph )
14:12,13,11:  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->.  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  C ph ) ).
15:14:  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D ph  ->.  A. x  e.  A A. y  e.  C ph ).
16:15:  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  ->.  ( A. x  e.  B A. y  e.  D ph  ->  A. x  e.  A A. y  e.  C ph ) ).
qed:16:  |-  ( ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  ->  ( A. x  e.  B A. y  e.  D ph  ->  A. x  e.  A A. y  e.  C ph ) )
(Contributed by Alan Sare, 10-Feb-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ssralv2VD  |-  ( ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  -> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  C  ph ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    y, C    x, D    y, D
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( y)    B( y)

Proof of Theorem ssralv2VD
StepHypRef Expression
1 ax-17 1627 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  ->  A. x ( A  C_  B  /\  C  C_  D
) )
2 hbra1 2757 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->  A. x A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph )
3 idn1 28727 . . . . . . . 8  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  ->.  ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ).
4 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  ->  C  C_  D )
53, 4e1_ 28790 . . . . . . 7  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  ->.  C  C_  D ).
6 idn3 28778 . . . . . . . 8  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph ,. x  e.  A  ->.  x  e.  A ).
7 simpl 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  ->  A  C_  B )
83, 7e1_ 28790 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  ->.  A  C_  B ).
9 idn2 28776 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->.  A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph ).
10 ssralv 3409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph 
->  A. x  e.  A  A. y  e.  D  ph ) )
118, 9, 10e12 28898 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  D  ph ).
12 df-ral 2712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  D  ph  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  D  ph ) )
1312biimpi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  D  ph  ->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  D  ph ) )
1411, 13e2 28794 . . . . . . . . 9  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->.  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  D  ph ) ).
15 sp 1764 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  D  ph )  -> 
( x  e.  A  ->  A. y  e.  D  ph ) )
1614, 15e2 28794 . . . . . . . 8  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->.  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  D  ph ) ).
17 pm2.27 38 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  A  ->  A. y  e.  D  ph )  ->  A. y  e.  D  ph ) )
186, 16, 17e32 28932 . . . . . . 7  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph ,. x  e.  A  ->.  A. y  e.  D  ph ).
19 ssralv 3409 . . . . . . 7  |-  ( C 
C_  D  ->  ( A. y  e.  D  ph 
->  A. y  e.  C  ph ) )
205, 18, 19e13 28922 . . . . . 6  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph ,. x  e.  A  ->.  A. y  e.  C  ph ).
2120in3 28772 . . . . 5  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->.  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  C  ph ) ).
221, 2, 21gen21nv 28783 . . . 4  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->.  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  C  ph ) ).
23 df-ral 2712 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  C  ph  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  C  ph ) )
2423biimpri 199 . . . 4  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  C  ph )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  C  ph )
2522, 24e2 28794 . . 3  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D ) ,. A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  C  ph ).
2625in2 28768 . 2  |-  (. ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  ->.  ( A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  C  ph ) ).
2726in1 28724 1  |-  ( ( A  C_  B  /\  C  C_  D )  -> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  D  ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  C  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   A.wal 1550    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-ral 2712  df-in 3329  df-ss 3336  df-vd1 28723  df-vd2 28732  df-vd3 28744
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