MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssrelrel Structured version   Unicode version

Theorem ssrelrel 4976
Description: A subclass relationship determined by ordered triples. Use relrelss 5393 to express the antecedent in terms of the relation predicate. (Contributed by NM, 17-Dec-2008.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ssrelrel  |-  ( A 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  ( A  C_  B 
<-> 
A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z

Proof of Theorem ssrelrel
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3342 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  ( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) )
21alrimiv 1641 . . 3  |-  ( A 
C_  B  ->  A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) )
32alrimivv 1642 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  A. x A. y A. z (
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) )
4 elvvv 4937 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V ) 
<->  E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >. )
5 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e.  A  <->  <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  A
) )
6 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e.  B  <->  <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  B
) )
75, 6imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( ( w  e.  A  ->  w  e.  B )  <->  ( <. <.
x ,  y >. ,  z >.  e.  A  -> 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  B ) ) )
87biimprcd 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  -> 
( w  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  ->  (
w  e.  A  ->  w  e.  B )
) )
98alimi 1568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  ->  A. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
10 19.23v 1914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e.  A  ->  w  e.  B ) )  <->  ( E. z  w  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  ->  ( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
119, 10sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  -> 
( E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
12112alimi 1569 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  ->  A. x A. y ( E. z  w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
13 19.23vv 1915 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x A. y ( E. z  w  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  ->  (
w  e.  A  ->  w  e.  B )
)  <->  ( E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
1412, 13sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  -> 
( E. x E. y E. z  w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
154, 14syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  -> 
( w  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )  -> 
( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
1615com23 74 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  -> 
( w  e.  A  ->  ( w  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )  ->  w  e.  B )
) )
1716a2d 24 . . . . 5  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  -> 
( ( w  e.  A  ->  w  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
)  ->  ( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
1817alimdv 1631 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  -> 
( A. w ( w  e.  A  ->  w  e.  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V ) )  ->  A. w ( w  e.  A  ->  w  e.  B ) ) )
19 dfss2 3337 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V ) 
<-> 
A. w ( w  e.  A  ->  w  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
) )
20 dfss2 3337 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  <->  A. w
( w  e.  A  ->  w  e.  B ) )
2118, 19, 203imtr4g 262 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  -> 
( A  C_  (
( _V  X.  _V )  X.  _V )  ->  A  C_  B ) )
2221com12 29 . 2  |-  ( A 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  ( A. x A. y A. z (
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B )  ->  A  C_  B ) )
233, 22impbid2 196 1  |-  ( A 
C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )  ->  ( A  C_  B 
<-> 
A. x A. y A. z ( <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  A  ->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   <.cop 3817    X. cxp 4876
This theorem is referenced by:  eqrelrel  4977
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-opab 4267  df-xp 4884
  Copyright terms: Public domain W3C validator