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Theorem sstotbnd 26499
Description: Condition for a subset of a metric space to be totally bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sstotbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
sstotbnd  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
Distinct variable groups:    b, d,
v, x, M    X, b, d, v, x    N, d, v, x    Y, b, d, v, x
Allowed substitution hint:    N( b)

Proof of Theorem sstotbnd
Dummy variables  f  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstotbnd.2 . . 3  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
21sstotbnd2 26498 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
3 elfpw 7157 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( u  C_  X  /\  u  e. 
Fin ) )
43simprbi 450 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  u  e.  Fin )
5 mptfi 7155 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  Fin  ->  (
x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin )
6 rnfi 7141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )  e.  Fin )
74, 5, 63syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )  e.  Fin )
87ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin )
9 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) )
10 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  =  ( x  e.  u  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )
1110rnmpt 4925 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  =  { b  |  E. x  e.  u  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) }
123simplbi 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  u  C_  X )
13 ssrexv 3238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
C_  X  ->  ( E. x  e.  u  b  =  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  ( E. x  e.  u  b  =  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
1514ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( E. x  e.  u  b  =  ( x (
ball `  M )
d )  ->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
1615ss2abdv 3246 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  { b  |  E. x  e.  u  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) }  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) } )
1711, 16syl5eqss 3222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) ) 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } )
18 unieq 3836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  U. v  =  U. ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
19 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x ( ball `  M
) d )  e. 
_V
2019dfiun3 4933 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d )  =  U. ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )
2118, 20syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  U. v  =  U_ x  e.  u  (
x ( ball `  M
) d ) )
2221sseq2d 3206 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( Y  C_  U. v  <->  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
23 ssabral 3244 . . . . . . . . . 10  |-  ( v 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) }  <->  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) )
24 sseq1 3199 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( v  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) }  <->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) } ) )
2523, 24syl5bbr 250 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d )  <->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) )
2622, 25anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) )  <->  ( Y  C_ 
U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M ) d )  /\  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) ) 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) ) )
2726rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( x  e.  u  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )  e. 
Fin  /\  ( Y  C_ 
U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M ) d )  /\  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) ) 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) )  ->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
288, 9, 17, 27syl12anc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2928expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  ( Y  C_  U_ x  e.  u  ( x (
ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
3029rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x (
ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
31 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
x ( ball `  M
) d )  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
3231eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
b  =  ( x ( ball `  M
) d )  <->  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
3332ac6sfi 7101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) )  ->  E. f ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )
3433adantrl 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) ) )  ->  E. f ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )
3534adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  E. f
( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
36 frn 5395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : v --> X  ->  ran  f  C_  X )
3736ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  ran  f  C_  X )
38 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  v  e.  Fin )
39 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : v --> X  -> 
f  Fn  v )
4039ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  f  Fn  v
)
41 dffn4 5457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  Fn  v  <->  f :
v -onto-> ran  f )
4240, 41sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  f : v
-onto->
ran  f )
43 fofi 7142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  f : v -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
4438, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
45 elfpw 7157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( ran  f  C_  X  /\  ran  f  e.  Fin ) )
4637, 44, 45sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )
47 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  Y  C_  U. v
)
4847adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  Y  C_  U. v
)
49 uniiun 3955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. v  =  U_ b  e.  v  b
50 iuneq2 3921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d )  ->  U_ b  e.  v  b  =  U_ b  e.  v  ( ( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )
5149, 50syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d )  ->  U. v  =  U_ b  e.  v  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
5251ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  U. v  =  U_ b  e.  v  (
( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )
5348, 52sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  Y  C_  U_ b  e.  v  ( (
f `  b )
( ball `  M )
d ) )
5431eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
y  e.  ( x ( ball `  M
) d )  <->  y  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
5554rexrn 5667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  v  ->  ( E. x  e.  ran  f  y  e.  (
x ( ball `  M
) d )  <->  E. b  e.  v  y  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
56 eliun 3909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d )  <->  E. x  e.  ran  f  y  e.  ( x ( ball `  M ) d ) )
57 eliun 3909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  U_ b  e.  v  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d )  <->  E. b  e.  v  y  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
5855, 56, 573bitr4g 279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  Fn  v  ->  (
y  e.  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d )  <->  y  e.  U_ b  e.  v  ( ( f `  b
) ( ball `  M
) d ) ) )
5958eqrdv 2281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  v  ->  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d )  = 
U_ b  e.  v  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
6040, 59syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  U_ x  e.  ran  f ( x (
ball `  M )
d )  =  U_ b  e.  v  (
( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )
6153, 60sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  Y  C_  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d ) )
62 iuneq1 3918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ran  f  ->  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M ) d )  =  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d ) )
6362sseq2d 3206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ran  f  -> 
( Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d )  <->  Y  C_  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d ) ) )
6463rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) )
6546, 61, 64syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) )
6665ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  ( (
f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
6766exlimdv 1664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  ( E. f ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x (
ball `  M )
d ) ) )
6835, 67mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) )
6968expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  Fin )  ->  ( ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x (
ball `  M )
d ) ) )
7069rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x (
ball `  M )
d ) ) )
7130, 70impbid 183 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x (
ball `  M )
d )  <->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
7271ralbidv 2563 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
732, 72bitrd 244 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   U_ciun 3905    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   RR+crp 10354   Metcme 16370   ballcbl 16371   TotBndctotbnd 26490
This theorem is referenced by:  totbndss  26501
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-totbnd 26492
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