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Theorem sstotbnd 26475
Description: Condition for a subset of a metric space to be totally bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sstotbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
sstotbnd  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
Distinct variable groups:    b, d,
v, x, M    X, b, d, v, x    N, d, v, x    Y, b, d, v, x
Allowed substitution hint:    N( b)

Proof of Theorem sstotbnd
Dummy variables  f  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstotbnd.2 . . 3  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
21sstotbnd2 26474 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
3 elfpw 7400 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( u  C_  X  /\  u  e. 
Fin ) )
43simprbi 451 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  u  e.  Fin )
5 mptfi 7398 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  Fin  ->  (
x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin )
6 rnfi 7383 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )  e.  Fin )
74, 5, 63syl 19 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )  e.  Fin )
87ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin )
9 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) )
10 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  =  ( x  e.  u  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )
1110rnmpt 5108 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  =  { b  |  E. x  e.  u  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) }
123simplbi 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  u  C_  X )
13 ssrexv 3400 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  X  ->  ( E. x  e.  u  b  =  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  ( E. x  e.  u  b  =  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
1514ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( E. x  e.  u  b  =  ( x (
ball `  M )
d )  ->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
1615ss2abdv 3408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  { b  |  E. x  e.  u  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) }  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) } )
1711, 16syl5eqss 3384 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) ) 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } )
18 unieq 4016 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  U. v  =  U. ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
19 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x ( ball `  M
) d )  e. 
_V
2019dfiun3 5116 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d )  =  U. ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )
2118, 20syl6eqr 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  U. v  =  U_ x  e.  u  (
x ( ball `  M
) d ) )
2221sseq2d 3368 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( Y  C_  U. v  <->  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
23 ssabral 3406 . . . . . . . . 9  |-  ( v 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) }  <->  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) )
24 sseq1 3361 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( v  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) }  <->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) } ) )
2523, 24syl5bbr 251 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d )  <->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) )
2622, 25anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) )  <->  ( Y  C_ 
U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M ) d )  /\  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) ) 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) ) )
2726rspcev 3044 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( x  e.  u  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )  e. 
Fin  /\  ( Y  C_ 
U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M ) d )  /\  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) ) 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) )  ->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
288, 9, 17, 27syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2928rexlimdvaa 2823 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x (
ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
30 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
x ( ball `  M
) d )  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
3130eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
b  =  ( x ( ball `  M
) d )  <->  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
3231ac6sfi 7343 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) )  ->  E. f ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )
3332adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) ) )  ->  E. f ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )
3433adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  E. f
( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
35 frn 5589 . . . . . . . . 9  |-  ( f : v --> X  ->  ran  f  C_  X )
3635ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  ran  f  C_  X )
37 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  v  e.  Fin )
38 ffn 5583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : v --> X  -> 
f  Fn  v )
3938ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  f  Fn  v
)
40 dffn4 5651 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  v  <->  f :
v -onto-> ran  f )
4139, 40sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  f : v
-onto->
ran  f )
42 fofi 7384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  f : v -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
4337, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
44 elfpw 7400 . . . . . . . 8  |-  ( ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( ran  f  C_  X  /\  ran  f  e.  Fin ) )
4536, 43, 44sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )
46 simprrl 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  Y  C_  U. v
)
4746adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  Y  C_  U. v
)
48 uniiun 4136 . . . . . . . . . . 11  |-  U. v  =  U_ b  e.  v  b
49 iuneq2 4101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d )  ->  U_ b  e.  v  b  =  U_ b  e.  v  ( ( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )
5048, 49syl5eq 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d )  ->  U. v  =  U_ b  e.  v  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
5150ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  U. v  =  U_ b  e.  v  (
( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )
5247, 51sseqtrd 3376 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  Y  C_  U_ b  e.  v  ( (
f `  b )
( ball `  M )
d ) )
5330eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
y  e.  ( x ( ball `  M
) d )  <->  y  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
5453rexrn 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  v  ->  ( E. x  e.  ran  f  y  e.  (
x ( ball `  M
) d )  <->  E. b  e.  v  y  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
55 eliun 4089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d )  <->  E. x  e.  ran  f  y  e.  ( x ( ball `  M ) d ) )
56 eliun 4089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U_ b  e.  v  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d )  <->  E. b  e.  v  y  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
5754, 55, 563bitr4g 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  v  ->  (
y  e.  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d )  <->  y  e.  U_ b  e.  v  ( ( f `  b
) ( ball `  M
) d ) ) )
5857eqrdv 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  v  ->  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d )  = 
U_ b  e.  v  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
5939, 58syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  U_ x  e.  ran  f ( x (
ball `  M )
d )  =  U_ b  e.  v  (
( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )
6052, 59sseqtr4d 3377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  Y  C_  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d ) )
61 iuneq1 4098 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ran  f  ->  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M ) d )  =  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d ) )
6261sseq2d 3368 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ran  f  -> 
( Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d )  <->  Y  C_  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d ) ) )
6362rspcev 3044 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) )
6445, 60, 63syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) )
6534, 64exlimddv 1648 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) )
6665rexlimdvaa 2823 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x (
ball `  M )
d ) ) )
6729, 66impbid 184 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x (
ball `  M )
d )  <->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
6867ralbidv 2717 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
692, 68bitrd 245 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   U_ciun 4085    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   ran crn 4871    |` cres 4872    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -onto->wfo 5444   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   RR+crp 10604   Metcme 16679   ballcbl 16680   TotBndctotbnd 26466
This theorem is referenced by:  totbndss  26477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-2 10050  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-totbnd 26468
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