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Theorem sstotbnd 26175
Description: Condition for a subset of a metric space to be totally bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sstotbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
sstotbnd  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
Distinct variable groups:    b, d,
v, x, M    X, b, d, v, x    N, d, v, x    Y, b, d, v, x
Allowed substitution hint:    N( b)

Proof of Theorem sstotbnd
Dummy variables  f  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstotbnd.2 . . 3  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
21sstotbnd2 26174 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
3 elfpw 7343 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( u  C_  X  /\  u  e. 
Fin ) )
43simprbi 451 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  u  e.  Fin )
5 mptfi 7341 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  Fin  ->  (
x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin )
6 rnfi 7327 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )  e.  Fin )
74, 5, 63syl 19 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )  e.  Fin )
87ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  e.  Fin )
9 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) )
10 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  =  ( x  e.  u  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )
1110rnmpt 5056 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  =  { b  |  E. x  e.  u  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) }
123simplbi 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  u  C_  X )
13 ssrexv 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  X  ->  ( E. x  e.  u  b  =  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  ( E. x  e.  u  b  =  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
1514ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ( E. x  e.  u  b  =  ( x (
ball `  M )
d )  ->  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
1615ss2abdv 3359 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  { b  |  E. x  e.  u  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) }  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) } )
1711, 16syl5eqss 3335 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) ) 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } )
18 unieq 3966 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  U. v  =  U. ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
19 ovex 6045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x ( ball `  M
) d )  e. 
_V
2019dfiun3 5064 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d )  =  U. ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )
2118, 20syl6eqr 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  U. v  =  U_ x  e.  u  (
x ( ball `  M
) d ) )
2221sseq2d 3319 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( Y  C_  U. v  <->  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
23 ssabral 3357 . . . . . . . . 9  |-  ( v 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) }  <->  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) )
24 sseq1 3312 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( v  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) }  <->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) } ) )
2523, 24syl5bbr 251 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d )  <->  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M ) d ) )  C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) )
2622, 25anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  ( ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) )  <->  ( Y  C_ 
U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M ) d )  /\  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) ) 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) ) )
2726rspcev 2995 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( x  e.  u  |->  ( x (
ball `  M )
d ) )  e. 
Fin  /\  ( Y  C_ 
U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M ) d )  /\  ran  ( x  e.  u  |->  ( x ( ball `  M
) d ) ) 
C_  { b  |  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) } ) )  ->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
288, 9, 17, 27syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( u  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M
) d ) ) )  ->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2928rexlimdvaa 2774 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x (
ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
30 oveq1 6027 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
x ( ball `  M
) d )  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
3130eqeq2d 2398 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
b  =  ( x ( ball `  M
) d )  <->  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
3231ac6sfi 7287 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) )  ->  E. f ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )
3332adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) ) )  ->  E. f ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )
3433adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  E. f
( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
35 frn 5537 . . . . . . . . 9  |-  ( f : v --> X  ->  ran  f  C_  X )
3635ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  ran  f  C_  X )
37 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  v  e.  Fin )
38 ffn 5531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : v --> X  -> 
f  Fn  v )
3938ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  f  Fn  v
)
40 dffn4 5599 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  v  <->  f :
v -onto-> ran  f )
4139, 40sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  f : v
-onto->
ran  f )
42 fofi 7328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  f : v -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
4337, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
44 elfpw 7343 . . . . . . . 8  |-  ( ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( ran  f  C_  X  /\  ran  f  e.  Fin ) )
4536, 43, 44sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )
46 simprrl 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  Y  C_  U. v
)
4746adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  Y  C_  U. v
)
48 uniiun 4085 . . . . . . . . . . 11  |-  U. v  =  U_ b  e.  v  b
49 iuneq2 4051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d )  ->  U_ b  e.  v  b  =  U_ b  e.  v  ( ( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )
5048, 49syl5eq 2431 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d )  ->  U. v  =  U_ b  e.  v  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
5150ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  U. v  =  U_ b  e.  v  (
( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )
5247, 51sseqtrd 3327 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  Y  C_  U_ b  e.  v  ( (
f `  b )
( ball `  M )
d ) )
5330eleq2d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( f `  b )  ->  (
y  e.  ( x ( ball `  M
) d )  <->  y  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
5453rexrn 5811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  v  ->  ( E. x  e.  ran  f  y  e.  (
x ( ball `  M
) d )  <->  E. b  e.  v  y  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) ) )
55 eliun 4039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d )  <->  E. x  e.  ran  f  y  e.  ( x ( ball `  M ) d ) )
56 eliun 4039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  U_ b  e.  v  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d )  <->  E. b  e.  v  y  e.  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
5754, 55, 563bitr4g 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  v  ->  (
y  e.  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d )  <->  y  e.  U_ b  e.  v  ( ( f `  b
) ( ball `  M
) d ) ) )
5857eqrdv 2385 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  v  ->  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d )  = 
U_ b  e.  v  ( ( f `  b ) ( ball `  M ) d ) )
5939, 58syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  U_ x  e.  ran  f ( x (
ball `  M )
d )  =  U_ b  e.  v  (
( f `  b
) ( ball `  M
) d ) )
6052, 59sseqtr4d 3328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  Y  C_  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d ) )
61 iuneq1 4048 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ran  f  ->  U_ x  e.  u  ( x ( ball `  M ) d )  =  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  M
) d ) )
6261sseq2d 3319 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ran  f  -> 
( Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d )  <->  Y  C_  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d ) ) )
6362rspcev 2995 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  M
) d ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) )
6445, 60, 63syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  /\  ( f : v --> X  /\  A. b  e.  v  b  =  ( ( f `
 b ) (
ball `  M )
d ) ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) )
6534, 64exlimddv 1645 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  ( v  e.  Fin  /\  ( Y 
C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x (
ball `  M )
d ) ) ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d ) )
6665rexlimdvaa 2774 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x
( ball `  M )
d ) )  ->  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x (
ball `  M )
d ) ) )
6729, 66impbid 184 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x (
ball `  M )
d )  <->  E. v  e.  Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
6867ralbidv 2669 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. u  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  u  ( x
( ball `  M )
d )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
692, 68bitrd 245 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
Fin  ( Y  C_  U. v  /\  A. b  e.  v  E. x  e.  X  b  =  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2373   A.wral 2649   E.wrex 2650    i^i cin 3262    C_ wss 3263   ~Pcpw 3742   U.cuni 3957   U_ciun 4035    e. cmpt 4207    X. cxp 4816   ran crn 4819    |` cres 4820    Fn wfn 5389   -->wf 5390   -onto->wfo 5392   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Fincfn 7045   RR+crp 10544   Metcme 16613   ballcbl 16614   TotBndctotbnd 26166
This theorem is referenced by:  totbndss  26177
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-2 9990  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-totbnd 26168
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