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Theorem sstotbnd2 26483
Description: Condition for a subset of a metric space to be totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sstotbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
sstotbnd2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
Distinct variable groups:    v, d, x, M    X, d, v, x    N, d, v, x    Y, d, v, x

Proof of Theorem sstotbnd2
Dummy variables  c 
f  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstotbnd.2 . . . . 5  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
2 metres2 18393 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
31, 2syl5eqel 2520 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  N  e.  ( Met `  Y
) )
4 istotbnd3 26480 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( TotBnd `  Y
)  <->  ( N  e.  ( Met `  Y
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  N )
d )  =  Y ) )
54baib 872 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Met `  Y
)  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  N )
d )  =  Y ) )
63, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  N )
d )  =  Y ) )
7 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  Y  C_  X )
8 sspwb 4413 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
97, 8sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  ~P Y  C_  ~P X
)
10 ssrin 3566 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P Y  C_  ~P X  ->  ( ~P Y  i^i  Fin )  C_  ( ~P X  i^i  Fin ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  -> 
( ~P Y  i^i  Fin )  C_  ( ~P X  i^i  Fin ) )
12 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  -> 
v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )
)
1311, 12sseldd 3349 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  -> 
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
)
14 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  U_ x  e.  v 
( x ( ball `  N ) d )  =  Y )
15 metxmet 18364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
1615ad4antr 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
17 elfpw 7408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  <->  ( v  C_  Y  /\  v  e. 
Fin ) )
1817simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  ->  v  C_  Y )
1918adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  ->  v  C_  Y )
2019sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  Y )
21 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  Y  C_  X )
22 dfss1 3545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y 
C_  X  <->  ( X  i^i  Y )  =  Y )
2321, 22sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  ( X  i^i  Y )  =  Y )
2420, 23eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( X  i^i  Y
) )
25 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  d  e.  RR+ )
2625rpxrd 10649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  d  e.  RR* )
271blres 18461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  d  e.  RR* )  ->  ( x (
ball `  N )
d )  =  ( ( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y ) )
2816, 24, 26, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  (
x ( ball `  N
) d )  =  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
) )
29 inss1 3561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  C_  (
x ( ball `  M
) d )
3028, 29syl6eqss 3398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  (
x ( ball `  N
) d )  C_  ( x ( ball `  M ) d ) )
3130ralrimiva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  ->  A. x  e.  v  ( x
( ball `  N )
d )  C_  (
x ( ball `  M
) d ) )
32 ss2iun 4108 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  C_  ( x ( ball `  M ) d )  ->  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  N ) d ) 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  N )
d )  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) )
3433adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  U_ x  e.  v 
( x ( ball `  N ) d ) 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d ) )
3514, 34eqsstr3d 3383 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d ) )
3613, 35jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  -> 
( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
3736ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( (
v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  N ) d )  =  Y )  -> 
( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) ) )
3837reximdv2 2815 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
3938ralimdva 2784 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  N )
d )  =  Y  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d ) ) )
406, 39sylbid 207 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
41 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  c  e.  RR+ )
4241rphalfcld 10660 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( c  /  2 )  e.  RR+ )
43 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( c  / 
2 )  ->  (
x ( ball `  M
) d )  =  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )
4443iuneq2d 4118 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( c  / 
2 )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  =  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )
4544sseq2d 3376 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( c  / 
2 )  ->  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  <->  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
4645rexbidv 2726 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( c  / 
2 )  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  <->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
4746rspcv 3048 . . . . . 6  |-  ( ( c  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
4842, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
49 elfpw 7408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( v  C_  X  /\  v  e. 
Fin ) )
5049simprbi 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  e.  Fin )
5150ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  v  e.  Fin )
52 ssrab2 3428 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  C_  v
53 ssfi 7329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  C_  v )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
5451, 52, 53sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
55 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  =  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )
5655ineq1d 3541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  ( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
) )
57 incom 3533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =  ( Y  i^i  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )
5856, 57syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  ( Y  i^i  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
59 dfin5 3328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  i^i  ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )  =  { z  e.  Y  |  z  e.  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) }
6058, 59syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  { z  e.  Y  |  z  e.  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) } )
6160neeq1d 2614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  { z  e.  Y  |  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) }  =/=  (/) ) )
62 rabn0 3647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { z  e.  Y  | 
z  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  Y  z  e.  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) ) )
6361, 62syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  E. z  e.  Y  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )
6463elrab 3092 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  <->  ( y  e.  v  /\  E. z  e.  Y  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )
6564simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  ->  E. z  e.  Y  z  e.  ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )
6665rgen 2771 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } E. z  e.  Y  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )
67 eleq1 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
z  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  <->  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
6867ac6sfi 7351 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin  /\  A. y  e. 
{ x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } E. z  e.  Y  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )  ->  E. f
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
6954, 66, 68sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  E. f
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
70 fdm 5595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  ->  dom  f  =  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } )
7170ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  dom  f  =  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } )
7271, 52syl6eqss 3398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  dom  f  C_  v )
73 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y )
7471feq2d 5581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f : dom  f --> Y  <->  f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y ) )
7573, 74mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  f : dom  f --> Y )
76 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  A. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
f `  y )  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )
77 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  -> 
f  Fn  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) } )
78 elpreima 5850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  Fn  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  ->  ( y  e.  ( `' f " ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
( y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  /\  ( f `  y
)  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  -> 
( y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
( y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  /\  ( f `  y
)  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
8079baibd 876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) } --> Y  /\  y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } )  ->  ( y  e.  ( `' f "
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )  <->  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
8180ralbidva 2721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  -> 
( A. y  e. 
{ x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } y  e.  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )  <->  A. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
f `  y )  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )
8281ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) } y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <->  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
8376, 82mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  A. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } y  e.  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
84 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  y  =  x )
85 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  =  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )
8685imaeq2d 5203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  =  ( `' f
" ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
8784, 86eleq12d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  ( `' f " ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
x  e.  ( `' f " ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
8887ralrab2 3100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) } y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <->  A. x  e.  v 
( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) )
8983, 88sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  A. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f " (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
9072, 75, 893jca 1134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )
9190ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  Fin  ->  (
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  ->  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) ) )
9251, 91syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  (
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  ->  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) ) )
93 simpr2 964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  f : dom  f
--> Y )
94 frn 5597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : dom  f --> Y  ->  ran  f  C_  Y )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ran  f  C_  Y )
96 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : dom  f --> Y  ->  f  Fn  dom  f )
9793, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  f  Fn  dom  f )
9851adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  v  e.  Fin )
99 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  dom  f  C_  v )
100 ssfi 7329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  dom  f  C_  v )  ->  dom  f  e.  Fin )
10198, 99, 100syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  dom  f  e.  Fin )
102 fnfi 7384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  Fn  dom  f  /\  dom  f  e.  Fin )  ->  f  e.  Fin )
10397, 101, 102syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  f  e.  Fin )
104 rnfi 7391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  Fin  ->  ran  f  e.  Fin )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
106 elfpw 7408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  f  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  <->  ( ran  f  C_  Y  /\  ran  f  e.  Fin ) )
10795, 105, 106sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )
108 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
x ( ball `  N
) c )  =  ( z ( ball `  N ) c ) )
109108cbviunv 4130 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  N
) c )  = 
U_ z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )
1103ad4antr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  N  e.  ( Met `  Y
) )
111 metxmet 18364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( Met `  Y
)  ->  N  e.  ( * Met `  Y
) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  N  e.  ( * Met `  Y
) )
11395sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  z  e.  Y )
114 rpxr 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  RR+  ->  c  e. 
RR* )
115114ad4antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  c  e.  RR* )
116 blssm 18448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  z  e.  Y  /\  c  e.  RR* )  ->  ( z ( ball `  N ) c ) 
C_  Y )
117112, 113, 115, 116syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  (
z ( ball `  N
) c )  C_  Y )
118117ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )  C_  Y
)
119 iunss 4132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c )  C_  Y 
<-> 
A. z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )  C_  Y
)
120118, 119sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )  C_  Y
)
121 iunin1 4156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ y  e.  v  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =  (
U_ y  e.  v  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )
122 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) )
12355cbviunv 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) )  =  U_ y  e.  v  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )
124122, 123syl6sseq 3394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  Y  C_  U_ y  e.  v  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) ) )
125 dfss1 3545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y 
C_  U_ y  e.  v  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  <-> 
( U_ y  e.  v  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  Y )
126124, 125sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ( U_ y  e.  v  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =  Y )
127121, 126syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ y  e.  v  ( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =  Y )
128 0ss 3656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (/)  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c )
129 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  (/)  ->  ( ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c )  <->  (/)  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) ) )
130128, 129mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  (/)  ->  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  (/)  ->  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) ) )
132 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) )
13356neeq1d 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) ) )
134 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
13555imaeq2d 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  ( `' f " (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  =  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
136134, 135eleq12d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( `' f " ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
y  e.  ( `' f " ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
137133, 136imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  <->  ( (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) ) )
138137rspccva 3051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  (
( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  y  e.  ( `' f "
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) )
139132, 138sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
14015ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
141140ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
142 cnvimass 5224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( `' f " ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) 
C_  dom  f
14349simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  C_  X )
144143ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  v  C_  X )
145144adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  v  C_  X
)
14699, 145sstrd 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  dom  f  C_  X )
147142, 146syl5ss 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )  C_  X )
148147sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  y  e.  X )
149 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
150149rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  c  e.  RR )
151 elpreima 5850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  Fn  dom  f  -> 
( y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
( y  e.  dom  f  /\  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
152151simplbda 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  Fn  dom  f  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )
15397, 152sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )
154 blhalf 18435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
c  e.  RR  /\  ( f `  y
)  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) )  C_  (
( f `  y
) ( ball `  M
) c ) )
155141, 148, 150, 153, 154syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) )  C_  (
( f `  y
) ( ball `  M
) c ) )
156 ssrin 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  C_  ( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  ->  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  (
( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  i^i  Y ) )
157155, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  (
( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  i^i  Y ) )
158142sseli 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )  -> 
y  e.  dom  f
)
159 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f : dom  f --> Y  /\  y  e.  dom  f )  ->  (
f `  y )  e.  Y )
16093, 158, 159syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  Y
)
161 simp-5r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  Y  C_  X
)
162161, 22sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( X  i^i  Y )  =  Y )
163160, 162eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  ( X  i^i  Y ) )
164114ad4antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  c  e.  RR* )
1651blres 18461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  ( f `  y )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  c  e.  RR* )  ->  ( ( f `
 y ) (
ball `  N )
c )  =  ( ( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  i^i  Y ) )
166141, 163, 164, 165syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
f `  y )
( ball `  N )
c )  =  ( ( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  i^i  Y ) )
167157, 166sseqtr4d 3385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  (
( f `  y
) ( ball `  N
) c ) )
168 fnfvelrn 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  Fn  dom  f  /\  y  e.  dom  f )  ->  (
f `  y )  e.  ran  f )
16997, 158, 168syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  ran  f )
170 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
z ( ball `  N
) c )  =  ( ( f `  y ) ( ball `  N ) c ) )
171170ssiun2s 4135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f `  y )  e.  ran  f  -> 
( ( f `  y ) ( ball `  N ) c ) 
C_  U_ z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c ) )
172169, 171syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
f `  y )
( ball `  N )
c )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
173167, 172sstrd 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
174173adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  /\  y  e.  ( `' f "
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  C_  U_ z  e.  ran  f
( z ( ball `  N ) c ) )
175174ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( y  e.  ( `' f "
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) ) )
176139, 175syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) ) )
177131, 176pm2.61dne 2681 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
178177ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  v  ( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  C_  U_ z  e. 
ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
179 iunss 4132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U_ y  e.  v  (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  C_  U_ z  e.  ran  f
( z ( ball `  N ) c )  <->  A. y  e.  v 
( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  C_  U_ z  e. 
ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
180178, 179sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ y  e.  v  ( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  C_  U_ z  e. 
ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
181127, 180eqsstr3d 3383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  Y  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
182120, 181eqssd 3365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )  =  Y )
183109, 182syl5eq 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ x  e.  ran  f ( x (
ball `  N )
c )  =  Y )
184 iuneq1 4106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ran  f  ->  U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  N
) c ) )
185184eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ran  f  -> 
( U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y  <->  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  N
) c )  =  Y ) )
186185rspcev 3052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  N
) c )  =  Y )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y )
187107, 183, 186syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y )
188187ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  (
( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f
--> Y  /\  A. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f " (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
18992, 188syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  (
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y ) )
190189exlimdv 1646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  ( E. f ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y ) )
19169, 190mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y )
192191rexlimdvaa 2831 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y ) )
19348, 192syld 42 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
194193ralrimdva 2796 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  A. c  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
195 istotbnd3 26480 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( TotBnd `  Y
)  <->  ( N  e.  ( Met `  Y
)  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
196195baib 872 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Met `  Y
)  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. c  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
1973, 196syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. c  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
198194, 197sylibrd 226 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  N  e.  ( TotBnd `  Y )
) )
19940, 198impbid 184 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   U_ciun 4093    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   RRcr 8989   RR*cxr 9119    / cdiv 9677   2c2 10049   RR+crp 10612   * Metcxmt 16686   Metcme 16687   ballcbl 16688   TotBndctotbnd 26475
This theorem is referenced by:  sstotbnd  26484  sstotbnd3  26485
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-totbnd 26477
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