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Theorem sstotbnd3 26439
Description: Use a net that is not necessarily finite, but for which only finitely many balls meet the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sstotbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
sstotbnd3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
Distinct variable groups:    v, d, x, M    X, d, v, x    N, d, v, x    Y, d, v, x

Proof of Theorem sstotbnd3
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstotbnd.2 . . . 4  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
21sstotbnd2 26437 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
3 elin 3522 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( v  e.  ~P X  /\  v  e.  Fin ) )
4 rabfi 7325 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  Fin  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
54anim2i 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ~P X  /\  v  e.  Fin )  ->  ( v  e. 
~P X  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
63, 5sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  (
v  e.  ~P X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
76anim2i 553 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  (
v  e.  ~P X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
87ancoms 440 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) )  -> 
( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  /\  (
v  e.  ~P X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
9 an12 773 . . . . . 6  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  (
v  e.  ~P X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  <->  ( v  e.  ~P X  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
108, 9sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) )  -> 
( v  e.  ~P X  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M
) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
1110reximi2 2804 . . . 4  |-  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  ~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
1211ralimi 2773 . . 3  |-  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
132, 12syl6bi 220 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
14 ssrab2 3420 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  C_  v
15 elpwi 3799 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ~P X  -> 
v  C_  X )
1615ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  v  C_  X )
1714, 16syl5ss 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  C_  X )
18 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
19 elfpw 7400 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) 
<->  ( { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  C_  X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
2017, 18, 19sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
)
21 ssel2 3335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d ) )
22 eliun 4089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  <->  E. x  e.  v  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) )
2321, 22sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  z  e.  Y )  ->  E. x  e.  v  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) )
24 inelcm 3674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) )
2524expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Y  ->  (
z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  -> 
( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) ) )
2625ancrd 538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Y  ->  (
z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  -> 
( ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2726reximdv 2809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Y  ->  ( E. x  e.  v 
z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  ->  E. x  e.  v 
( ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2827impcom 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. x  e.  v  z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  /\  z  e.  Y )  ->  E. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2923, 28sylancom 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  z  e.  Y )  ->  E. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M
) d ) ) )
30 eliun 4089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U_ y  e. 
{ x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d )  <->  E. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) } z  e.  ( y (
ball `  M )
d ) )
31 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
y ( ball `  M
) d )  =  ( x ( ball `  M ) d ) )
3231eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
z  e.  ( y ( ball `  M
) d )  <->  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
3332rexrab2 3094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) } z  e.  ( y ( ball `  M
) d )  <->  E. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M
) d ) ) )
3430, 33bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U_ y  e. 
{ x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d )  <->  E. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M
) d ) ) )
3529, 34sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  U_ y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )
3635ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  ->  ( z  e.  Y  ->  z  e.  U_ y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( y (
ball `  M )
d ) ) )
3736ssrdv 3346 . . . . . . . 8  |-  ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  ->  Y  C_  U_ y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )
3837ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  Y  C_ 
U_ y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )
39 iuneq1 4098 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  ->  U_ y  e.  w  ( y ( ball `  M
) d )  = 
U_ y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )
4039sseq2d 3368 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  ->  ( Y  C_  U_ y  e.  w  ( y (
ball `  M )
d )  <->  Y  C_  U_ y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) ) )
4140rspcev 3044 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )  ->  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) )
4220, 38, 41syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) )
4342ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  ->  (
( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) ) )
4443rexlimdva 2822 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( E. v  e.  ~P  X ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M
) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) ) )
4544ralimdv 2777 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  A. d  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) ) )
461sstotbnd2 26437 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) ) )
4745, 46sylibrd 226 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  N  e.  ( TotBnd `  Y )
) )
4813, 47impbid 184 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   U_ciun 4085    X. cxp 4868    |` cres 4872   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   RR+crp 10602   Metcme 16677   ballcbl 16678   TotBndctotbnd 26429
This theorem is referenced by:  cntotbnd  26459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-2 10048  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-totbnd 26431
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