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Theorem sstotbnd3 26177
Description: Use a net that is not necessarily finite, but for which only finitely many balls meet the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sstotbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
sstotbnd3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
Distinct variable groups:    v, d, x, M    X, d, v, x    N, d, v, x    Y, d, v, x

Proof of Theorem sstotbnd3
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstotbnd.2 . . . 4  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
21sstotbnd2 26175 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
3 elin 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( v  e.  ~P X  /\  v  e.  Fin ) )
4 rabfi 7270 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  Fin  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
54anim2i 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ~P X  /\  v  e.  Fin )  ->  ( v  e. 
~P X  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
63, 5sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  (
v  e.  ~P X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
76anim2i 553 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  (
v  e.  ~P X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
87ancoms 440 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) )  -> 
( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  /\  (
v  e.  ~P X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
9 an12 773 . . . . . 6  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  (
v  e.  ~P X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  <->  ( v  e.  ~P X  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
108, 9sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) )  -> 
( v  e.  ~P X  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M
) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
1110reximi2 2756 . . . 4  |-  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  ~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
1211ralimi 2725 . . 3  |-  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
132, 12syl6bi 220 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
14 ssrab2 3372 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  C_  v
15 elpwi 3751 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ~P X  -> 
v  C_  X )
1615ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  v  C_  X )
1714, 16syl5ss 3303 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  C_  X )
18 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
19 elfpw 7344 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) 
<->  ( { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  C_  X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
2017, 18, 19sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
)
21 ssel2 3287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d ) )
22 eliun 4040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  <->  E. x  e.  v  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) )
2321, 22sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  z  e.  Y )  ->  E. x  e.  v  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) )
24 inelcm 3626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) )
2524expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Y  ->  (
z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  -> 
( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) ) )
2625ancrd 538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Y  ->  (
z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  -> 
( ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2726reximdv 2761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Y  ->  ( E. x  e.  v 
z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  ->  E. x  e.  v 
( ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2827impcom 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. x  e.  v  z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  /\  z  e.  Y )  ->  E. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
2923, 28sylancom 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  z  e.  Y )  ->  E. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M
) d ) ) )
30 eliun 4040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U_ y  e. 
{ x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d )  <->  E. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) } z  e.  ( y (
ball `  M )
d ) )
31 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
y ( ball `  M
) d )  =  ( x ( ball `  M ) d ) )
3231eleq2d 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
z  e.  ( y ( ball `  M
) d )  <->  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
3332rexrab2 3046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) } z  e.  ( y ( ball `  M
) d )  <->  E. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M
) d ) ) )
3430, 33bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U_ y  e. 
{ x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d )  <->  E. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M
) d ) ) )
3529, 34sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  U_ y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )
3635ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  ->  ( z  e.  Y  ->  z  e.  U_ y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( y (
ball `  M )
d ) ) )
3736ssrdv 3298 . . . . . . . 8  |-  ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  ->  Y  C_  U_ y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )
3837ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  Y  C_ 
U_ y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )
39 iuneq1 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  ->  U_ y  e.  w  ( y ( ball `  M
) d )  = 
U_ y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )
4039sseq2d 3320 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  ->  ( Y  C_  U_ y  e.  w  ( y (
ball `  M )
d )  <->  Y  C_  U_ y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) ) )
4140rspcev 2996 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )  ->  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) )
4220, 38, 41syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) )
4342ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  ->  (
( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) ) )
4443rexlimdva 2774 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( E. v  e.  ~P  X ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M
) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) ) )
4544ralimdv 2729 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  A. d  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) ) )
461sstotbnd2 26175 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) ) )
4745, 46sylibrd 226 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  N  e.  ( TotBnd `  Y )
) )
4813, 47impbid 184 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651   {crab 2654    i^i cin 3263    C_ wss 3264   (/)c0 3572   ~Pcpw 3743   U_ciun 4036    X. cxp 4817    |` cres 4821   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Fincfn 7046   RR+crp 10545   Metcme 16614   ballcbl 16615   TotBndctotbnd 26167
This theorem is referenced by:  cntotbnd  26197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-2 9991  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-totbnd 26169
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