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Theorem sstotbnd3 26500
Description: Use a net that is not necessarily finite, but for which only finitely many balls meet the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sstotbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
sstotbnd3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
Distinct variable groups:    v, d, x, M    X, d, v, x    N, d, v, x    Y, d, v, x

Proof of Theorem sstotbnd3
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstotbnd.2 . . . 4  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
21sstotbnd2 26498 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
3 elin 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( v  e.  ~P X  /\  v  e.  Fin ) )
4 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  C_  v
5 ssfi 7083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  C_  v )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
64, 5mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  Fin  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
76anim2i 552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ~P X  /\  v  e.  Fin )  ->  ( v  e. 
~P X  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
83, 7sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  (
v  e.  ~P X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
98anim2i 552 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  (
v  e.  ~P X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
109ancoms 439 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) )  -> 
( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  /\  (
v  e.  ~P X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
11 an12 772 . . . . . 6  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  (
v  e.  ~P X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  <->  ( v  e.  ~P X  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
1210, 11sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) )  -> 
( v  e.  ~P X  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M
) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
1312reximi2 2649 . . . 4  |-  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  ~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
1413ralimi 2618 . . 3  |-  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
152, 14syl6bi 219 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
16 elpwi 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ~P X  -> 
v  C_  X )
1716ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  v  C_  X )
184, 17syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  C_  X )
19 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
20 elfpw 7157 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) 
<->  ( { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  C_  X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
2118, 19, 20sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
)
22 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d ) )
23 eliun 3909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  <->  E. x  e.  v  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) )
2422, 23sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  z  e.  Y )  ->  E. x  e.  v  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) )
25 inelcm 3509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) )
2625expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Y  ->  (
z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  -> 
( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) ) )
2726ancrd 537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Y  ->  (
z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  -> 
( ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2827reximdv 2654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Y  ->  ( E. x  e.  v 
z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  ->  E. x  e.  v 
( ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2928impcom 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. x  e.  v  z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  /\  z  e.  Y )  ->  E. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
3024, 29sylancom 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  z  e.  Y )  ->  E. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M
) d ) ) )
31 eliun 3909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U_ y  e. 
{ x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d )  <->  E. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) } z  e.  ( y (
ball `  M )
d ) )
32 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
y ( ball `  M
) d )  =  ( x ( ball `  M ) d ) )
3332eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
z  e.  ( y ( ball `  M
) d )  <->  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
3433rexrab2 2933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) } z  e.  ( y ( ball `  M
) d )  <->  E. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M
) d ) ) )
3531, 34bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U_ y  e. 
{ x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d )  <->  E. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M
) d ) ) )
3630, 35sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  U_ y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )
3736ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  ->  ( z  e.  Y  ->  z  e.  U_ y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( y (
ball `  M )
d ) ) )
3837ssrdv 3185 . . . . . . . 8  |-  ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  ->  Y  C_  U_ y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )
3938ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  Y  C_ 
U_ y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )
40 iuneq1 3918 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  ->  U_ y  e.  w  ( y ( ball `  M
) d )  = 
U_ y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )
4140sseq2d 3206 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  ->  ( Y  C_  U_ y  e.  w  ( y (
ball `  M )
d )  <->  Y  C_  U_ y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) ) )
4241rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )  ->  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) )
4321, 39, 42syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) )
4443ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  ->  (
( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) ) )
4544rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( E. v  e.  ~P  X ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M
) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) ) )
4645ralimdv 2622 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  A. d  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) ) )
471sstotbnd2 26498 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) ) )
4846, 47sylibrd 225 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  N  e.  ( TotBnd `  Y )
) )
4915, 48impbid 183 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U_ciun 3905    X. cxp 4687    |` cres 4691   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   RR+crp 10354   Metcme 16370   ballcbl 16371   TotBndctotbnd 26490
This theorem is referenced by:  cntotbnd  26520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-totbnd 26492
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