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Theorem sstotbnd3 26603
Description: Use a net that is not necessarily finite, but for which only finitely many balls meet the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sstotbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
sstotbnd3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
Distinct variable groups:    v, d, x, M    X, d, v, x    N, d, v, x    Y, d, v, x

Proof of Theorem sstotbnd3
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstotbnd.2 . . . 4  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
21sstotbnd2 26601 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
3 elin 3371 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( v  e.  ~P X  /\  v  e.  Fin ) )
4 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  C_  v
5 ssfi 7099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  C_  v )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
64, 5mpan2 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  Fin  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
76anim2i 552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  ~P X  /\  v  e.  Fin )  ->  ( v  e. 
~P X  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
83, 7sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  (
v  e.  ~P X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
98anim2i 552 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  (
v  e.  ~P X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
109ancoms 439 . . . . . 6  |-  ( ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) )  -> 
( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  /\  (
v  e.  ~P X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
11 an12 772 . . . . . 6  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  (
v  e.  ~P X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  <->  ( v  e.  ~P X  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
1210, 11sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) )  -> 
( v  e.  ~P X  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M
) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
1312reximi2 2662 . . . 4  |-  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  ~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
1413ralimi 2631 . . 3  |-  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
152, 14syl6bi 219 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
16 elpwi 3646 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ~P X  -> 
v  C_  X )
1716ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  v  C_  X )
184, 17syl5ss 3203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  C_  X )
19 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
20 elfpw 7173 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) 
<->  ( { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  C_  X  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
2118, 19, 20sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
)
22 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d ) )
23 eliun 3925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  <->  E. x  e.  v  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) )
2422, 23sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  z  e.  Y )  ->  E. x  e.  v  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) )
25 inelcm 3522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  /\  z  e.  Y )  ->  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) )
2625expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Y  ->  (
z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  -> 
( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) ) )
2726ancrd 537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Y  ->  (
z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  -> 
( ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2827reximdv 2667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Y  ->  ( E. x  e.  v 
z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  ->  E. x  e.  v 
( ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) ) ) )
2928impcom 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. x  e.  v  z  e.  ( x ( ball `  M
) d )  /\  z  e.  Y )  ->  E. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
3024, 29sylancom 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  z  e.  Y )  ->  E. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M
) d ) ) )
31 eliun 3925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U_ y  e. 
{ x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d )  <->  E. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) } z  e.  ( y (
ball `  M )
d ) )
32 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
y ( ball `  M
) d )  =  ( x ( ball `  M ) d ) )
3332eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
z  e.  ( y ( ball `  M
) d )  <->  z  e.  ( x ( ball `  M ) d ) ) )
3433rexrab2 2946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) } z  e.  ( y ( ball `  M
) d )  <->  E. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M
) d ) ) )
3531, 34bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U_ y  e. 
{ x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d )  <->  E. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/)  /\  z  e.  ( x ( ball `  M
) d ) ) )
3630, 35sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  z  e.  Y )  ->  z  e.  U_ y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )
3736ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  ->  ( z  e.  Y  ->  z  e.  U_ y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( y (
ball `  M )
d ) ) )
3837ssrdv 3198 . . . . . . . 8  |-  ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  ->  Y  C_  U_ y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )
3938ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  Y  C_ 
U_ y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )
40 iuneq1 3934 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  ->  U_ y  e.  w  ( y ( ball `  M
) d )  = 
U_ y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )
4140sseq2d 3219 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  ->  ( Y  C_  U_ y  e.  w  ( y (
ball `  M )
d )  <->  Y  C_  U_ y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) ) )
4241rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
y ( ball `  M
) d ) )  ->  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) )
4321, 39, 42syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  /\  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) )
4443ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  v  e.  ~P X )  ->  (
( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  /\  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) ) )
4544rexlimdva 2680 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( E. v  e.  ~P  X ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M
) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) ) )
4645ralimdv 2635 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  A. d  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) ) )
471sstotbnd2 26601 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ y  e.  w  ( y
( ball `  M )
d ) ) )
4846, 47sylibrd 225 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )  ->  N  e.  ( TotBnd `  Y )
) )
4915, 48impbid 183 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e. 
~P  X ( Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d )  /\  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U_ciun 3921    X. cxp 4703    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   RR+crp 10370   Metcme 16386   ballcbl 16387   TotBndctotbnd 26593
This theorem is referenced by:  cntotbnd  26623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-totbnd 26595
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