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Theorem ssufl 17613
Description: If  Y is a subset of  X and filters extend to ultrafilters in  X, then they still do in  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssufl  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e. UFL )

Proof of Theorem ssufl
Dummy variables  f 
g  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  X  e. UFL )
2 filfbas 17543 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  f  e.  ( fBas `  Y )
)
32adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
f  e.  ( fBas `  Y ) )
4 filsspw 17546 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  f  C_  ~P Y )
54adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
f  C_  ~P Y
)
6 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  Y  C_  X )
7 sspwb 4223 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
86, 7sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  ~P Y  C_  ~P X
)
95, 8sstrd 3189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
f  C_  ~P X
)
10 fbasweak 17560 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  ( fBas `  Y )  /\  f  C_ 
~P X  /\  X  e. UFL )  ->  f  e.  ( fBas `  X )
)
113, 9, 1, 10syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
f  e.  ( fBas `  X ) )
12 fgcl 17573 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X ) )
1311, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
( X filGen f )  e.  ( Fil `  X
) )
14 ufli 17609 . . . . 5  |-  ( ( X  e. UFL  /\  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X
) )  ->  E. u  e.  ( UFil `  X
) ( X filGen f )  C_  u )
151, 13, 14syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  E. u  e.  ( UFil `  X ) ( X filGen f )  C_  u )
16 ssfg 17567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( fBas `  X
)  ->  f  C_  ( X filGen f ) )
1711, 16syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
f  C_  ( X filGen f ) )
1817adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  f  C_  ( X filGen f ) )
19 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  ( X filGen f )  C_  u )
2018, 19sstrd 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  f  C_  u )
21 filtop 17550 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  f )
2221ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  Y  e.  f )
2320, 22sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  Y  e.  u )
24 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  u  e.  ( UFil `  X
) )
256adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  Y  C_  X )
26 trufil 17605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( UFil `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( ut  Y )  e.  (
UFil `  Y )  <->  Y  e.  u ) )
2724, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  (
( ut  Y )  e.  (
UFil `  Y )  <->  Y  e.  u ) )
2823, 27mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  (
ut 
Y )  e.  (
UFil `  Y )
)
295adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  f  C_ 
~P Y )
30 restid2 13335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  f  /\  f  C_  ~P Y )  ->  ( ft  Y )  =  f )
3122, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  (
ft 
Y )  =  f )
32 ssrest 16907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  ( UFil `  X )  /\  f  C_  u )  ->  (
ft 
Y )  C_  (
ut 
Y ) )
3324, 20, 32syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  (
ft 
Y )  C_  (
ut 
Y ) )
3431, 33eqsstr3d 3213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  f  C_  ( ut  Y ) )
35 sseq2 3200 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( ut  Y )  ->  ( f  C_  g 
<->  f  C_  ( ut  Y
) ) )
3635rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ut  Y )  e.  (
UFil `  Y )  /\  f  C_  ( ut  Y ) )  ->  E. g  e.  ( UFil `  Y
) f  C_  g
)
3728, 34, 36syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  E. g  e.  ( UFil `  Y
) f  C_  g
)
3837expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  u  e.  ( UFil `  X
) )  ->  (
( X filGen f ) 
C_  u  ->  E. g  e.  ( UFil `  Y
) f  C_  g
) )
3938rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
( E. u  e.  ( UFil `  X
) ( X filGen f )  C_  u  ->  E. g  e.  ( UFil `  Y ) f  C_  g ) )
4015, 39mpd 14 . . 3  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  E. g  e.  ( UFil `  Y ) f 
C_  g )
4140ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  ->  A. f  e.  ( Fil `  Y
) E. g  e.  ( UFil `  Y
) f  C_  g
)
42 ssexg 4160 . . . 4  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e. UFL )  ->  Y  e.  _V )
4342ancoms 439 . . 3  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  _V )
44 isufl 17608 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( Y  e. UFL  <->  A. f  e.  ( Fil `  Y ) E. g  e.  (
UFil `  Y )
f  C_  g )
)
4543, 44syl 15 . 2  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  ->  ( Y  e. UFL  <->  A. f  e.  ( Fil `  Y ) E. g  e.  (
UFil `  Y )
f  C_  g )
)
4641, 45mpbird 223 1  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e. UFL )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   fBascfbas 17518   filGencfg 17519   Filcfil 17540   UFilcufil 17594  UFLcufl 17595
This theorem is referenced by:  ufldom  17657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-rest 13327  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-ufil 17596  df-ufl 17597
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