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Theorem ssunpr 3906
Description: Possible values for a set sandwiched between another set and it plus a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
ssunpr  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C ,  D }
) )  <->  ( ( A  =  B  \/  A  =  ( B  u.  { C } ) )  \/  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( B  u.  { C ,  D } ) ) ) )

Proof of Theorem ssunpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3766 . . . . . 6  |-  { C ,  D }  =  ( { C }  u.  { D } )
21uneq2i 3443 . . . . 5  |-  ( B  u.  { C ,  D } )  =  ( B  u.  ( { C }  u.  { D } ) )
3 unass 3449 . . . . 5  |-  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } )  =  ( B  u.  ( { C }  u.  { D } ) )
42, 3eqtr4i 2412 . . . 4  |-  ( B  u.  { C ,  D } )  =  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } )
54sseq2i 3318 . . 3  |-  ( A 
C_  ( B  u.  { C ,  D }
)  <->  A  C_  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } ) )
65anbi2i 676 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C ,  D }
) )  <->  ( B  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { C } )  u. 
{ D } ) ) )
7 ssunsn2 3903 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { C }
)  u.  { D } ) )  <->  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C } ) )  \/  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  (
( B  u.  { C } )  u.  { D } ) ) ) )
8 ssunsn 3904 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C } ) )  <-> 
( A  =  B  \/  A  =  ( B  u.  { C } ) ) )
9 un23 3451 . . . . . 6  |-  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } )  =  ( ( B  u.  { D } )  u.  { C } )
109sseq2i 3318 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( ( B  u.  { C }
)  u.  { D } )  <->  A  C_  (
( B  u.  { D } )  u.  { C } ) )
1110anbi2i 676 . . . 4  |-  ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } ) )  <->  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { D } )  u.  { C } ) ) )
12 ssunsn 3904 . . . 4  |-  ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { D } )  u.  { C } ) )  <->  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( ( B  u.  { D } )  u.  { C } ) ) )
134, 9eqtr2i 2410 . . . . . 6  |-  ( ( B  u.  { D } )  u.  { C } )  =  ( B  u.  { C ,  D } )
1413eqeq2i 2399 . . . . 5  |-  ( A  =  ( ( B  u.  { D }
)  u.  { C } )  <->  A  =  ( B  u.  { C ,  D } ) )
1514orbi2i 506 . . . 4  |-  ( ( A  =  ( B  u.  { D }
)  \/  A  =  ( ( B  u.  { D } )  u. 
{ C } ) )  <->  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( B  u.  { C ,  D }
) ) )
1611, 12, 153bitri 263 . . 3  |-  ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } ) )  <->  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( B  u.  { C ,  D } ) ) )
178, 16orbi12i 508 . 2  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C }
) )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( ( B  u.  { C } )  u.  { D } ) ) )  <-> 
( ( A  =  B  \/  A  =  ( B  u.  { C } ) )  \/  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( B  u.  { C ,  D }
) ) ) )
186, 7, 173bitri 263 1  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( B  u.  { C ,  D }
) )  <->  ( ( A  =  B  \/  A  =  ( B  u.  { C } ) )  \/  ( A  =  ( B  u.  { D } )  \/  A  =  ( B  u.  { C ,  D } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    u. cun 3263    C_ wss 3265   {csn 3759   {cpr 3760
This theorem is referenced by:  sspr  3907  sstp  3908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ral 2656  df-v 2903  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-sn 3765  df-pr 3766
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