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Theorem ssunsn2 3773
Description: The property of being sandwiched between two sets naturally splits under union with a singleton. This is the induction hypothesis for the determination of large powersets such as pwtp 3824. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
ssunsn2  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  <-> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  C
)  \/  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) )

Proof of Theorem ssunsn2
StepHypRef Expression
1 snssi 3759 . . . . 5  |-  ( D  e.  A  ->  { D }  C_  A )
2 unss 3349 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  { D }  C_  A
)  <->  ( B  u.  { D } )  C_  A )
32bicomi 193 . . . . . 6  |-  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  <->  ( B  C_  A  /\  { D }  C_  A
) )
43rbaibr 874 . . . . 5  |-  ( { D }  C_  A  ->  ( B  C_  A  <->  ( B  u.  { D } )  C_  A
) )
51, 4syl 15 . . . 4  |-  ( D  e.  A  ->  ( B  C_  A  <->  ( B  u.  { D } ) 
C_  A ) )
65anbi1d 685 . . 3  |-  ( D  e.  A  ->  (
( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) )  <->  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) )
72biimpi 186 . . . . . . 7  |-  ( ( B  C_  A  /\  { D }  C_  A
)  ->  ( B  u.  { D } ) 
C_  A )
87expcom 424 . . . . . 6  |-  ( { D }  C_  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  u.  { D } )  C_  A
) )
91, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( D  e.  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( B  u.  { D } )  C_  A
) )
10 ssun3 3340 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  C  ->  A  C_  ( C  u.  { D } ) )
1110a1i 10 . . . . 5  |-  ( D  e.  A  ->  ( A  C_  C  ->  A  C_  ( C  u.  { D } ) ) )
129, 11anim12d 546 . . . 4  |-  ( D  e.  A  ->  (
( B  C_  A  /\  A  C_  C )  ->  ( ( B  u.  { D }
)  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) ) ) )
13 pm4.72 846 . . . 4  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A  C_  C )  ->  ( ( B  u.  { D }
)  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) ) )  <->  ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) )  <->  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) ) )
1412, 13sylib 188 . . 3  |-  ( D  e.  A  ->  (
( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  <->  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) ) )
156, 14bitrd 244 . 2  |-  ( D  e.  A  ->  (
( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) )  <->  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) ) )
16 disjsn 3693 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  { D } )  =  (/)  <->  -.  D  e.  A )
17 disj3 3499 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  { D } )  =  (/)  <->  A  =  ( A  \  { D } ) )
1816, 17bitr3i 242 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  A  <->  A  =  ( A  \  { D } ) )
19 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( A  \  { D } )  -> 
( A  C_  C  <->  ( A  \  { D } )  C_  C
) )
2018, 19sylbi 187 . . . . 5  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( A  C_  C  <->  ( A  \  { D } )  C_  C
) )
21 uncom 3319 . . . . . . 7  |-  ( { D }  u.  C
)  =  ( C  u.  { D }
)
2221sseq2i 3203 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( { D }  u.  C )  <->  A 
C_  ( C  u.  { D } ) )
23 ssundif 3537 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ( { D }  u.  C )  <->  ( A  \  { D } )  C_  C
)
2422, 23bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ( C  u.  { D } )  <->  ( A  \  { D } ) 
C_  C )
2520, 24syl6rbbr 255 . . . 4  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( A  C_  ( C  u.  { D } )  <->  A  C_  C
) )
2625anbi2d 684 . . 3  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  <->  ( B  C_  A  /\  A  C_  C ) ) )
273simplbi 446 . . . . . . 7  |-  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  ->  B  C_  A )
2827a1i 10 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( B  u.  { D } )  C_  A  ->  B  C_  A
) )
2925biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( A  C_  ( C  u.  { D } )  ->  A  C_  C ) )
3028, 29anim12d 546 . . . . 5  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( ( B  u.  { D }
)  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  ->  ( B  C_  A  /\  A  C_  C
) ) )
31 pm4.72 846 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  -> 
( B  C_  A  /\  A  C_  C ) )  <->  ( ( B 
C_  A  /\  A  C_  C )  <->  ( (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) )  \/  ( B  C_  A  /\  A  C_  C ) ) ) )
3230, 31sylib 188 . . . 4  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  C
)  <->  ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) )  \/  ( B  C_  A  /\  A  C_  C ) ) ) )
33 orcom 376 . . . 4  |-  ( ( ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  \/  ( B  C_  A  /\  A  C_  C ) )  <->  ( ( B 
C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) )
3432, 33syl6bb 252 . . 3  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  C
)  <->  ( ( B 
C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) ) )
3526, 34bitrd 244 . 2  |-  ( -.  D  e.  A  -> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  <->  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  C )  \/  (
( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) ) )
3615, 35pm2.61i 156 1  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D } ) )  <-> 
( ( B  C_  A  /\  A  C_  C
)  \/  ( ( B  u.  { D } )  C_  A  /\  A  C_  ( C  u.  { D }
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640
This theorem is referenced by:  ssunsn  3774  ssunpr  3776  sstp  3778
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-sn 3646
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