Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  staffval Unicode version

Theorem staffval 15705
 Description: The functionalization of the involution component of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
staffval.b
staffval.i
staffval.f
Assertion
Ref Expression
staffval
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem staffval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 staffval.f . 2
2 fveq2 5605 . . . . . 6
3 staffval.b . . . . . 6
42, 3syl6eqr 2408 . . . . 5
5 fveq2 5605 . . . . . . 7
6 staffval.i . . . . . . 7
75, 6syl6eqr 2408 . . . . . 6
87fveq1d 5607 . . . . 5
94, 8mpteq12dv 4177 . . . 4
10 df-staf 15703 . . . 4
11 eqid 2358 . . . . . 6
12 fvrn0 5630 . . . . . . 7
1312a1i 10 . . . . . 6
1411, 13fmpti 5763 . . . . 5
15 fvex 5619 . . . . . 6
163, 15eqeltri 2428 . . . . 5
17 fvex 5619 . . . . . . . 8
186, 17eqeltri 2428 . . . . . . 7
1918rnex 5021 . . . . . 6
20 p0ex 4276 . . . . . 6
2119, 20unex 4597 . . . . 5
22 fex2 5481 . . . . 5
2314, 16, 21, 22mp3an 1277 . . . 4
249, 10, 23fvmpt 5682 . . 3
25 fvprc 5599 . . . . 5
26 mpt0 5450 . . . . 5
2725, 26syl6eqr 2408 . . . 4
28 fvprc 5599 . . . . . 6
293, 28syl5eq 2402 . . . . 5
30 mpteq1 4179 . . . . 5
3129, 30syl 15 . . . 4
3227, 31eqtr4d 2393 . . 3
3324, 32pm2.61i 156 . 2
341, 33eqtri 2378 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wceq 1642   wcel 1710  cvv 2864   cun 3226  c0 3531  csn 3716   cmpt 4156   crn 4769  wf 5330  cfv 5334  cbs 13239  cstv 13301  cstf 15701 This theorem is referenced by:  stafval  15706  staffn  15707  issrngd  15719 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-fv 5342  df-staf 15703
 Copyright terms: Public domain W3C validator