Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  staffval Structured version   Unicode version

Theorem staffval 15940
 Description: The functionalization of the involution component of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
staffval.b
staffval.i
staffval.f
Assertion
Ref Expression
staffval
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem staffval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 staffval.f . 2
2 fveq2 5731 . . . . . 6
3 staffval.b . . . . . 6
42, 3syl6eqr 2488 . . . . 5
5 fveq2 5731 . . . . . . 7
6 staffval.i . . . . . . 7
75, 6syl6eqr 2488 . . . . . 6
87fveq1d 5733 . . . . 5
94, 8mpteq12dv 4290 . . . 4
10 df-staf 15938 . . . 4
11 eqid 2438 . . . . . 6
12 fvrn0 5756 . . . . . . 7
1312a1i 11 . . . . . 6
1411, 13fmpti 5895 . . . . 5
15 fvex 5745 . . . . . 6
163, 15eqeltri 2508 . . . . 5
17 fvex 5745 . . . . . . . 8
186, 17eqeltri 2508 . . . . . . 7
1918rnex 5136 . . . . . 6
20 p0ex 4389 . . . . . 6
2119, 20unex 4710 . . . . 5
22 fex2 5606 . . . . 5
2314, 16, 21, 22mp3an 1280 . . . 4
249, 10, 23fvmpt 5809 . . 3
25 fvprc 5725 . . . . 5
26 mpt0 5575 . . . . 5
2725, 26syl6eqr 2488 . . . 4
28 fvprc 5725 . . . . . 6
293, 28syl5eq 2482 . . . . 5
3029mpteq1d 4293 . . . 4
3127, 30eqtr4d 2473 . . 3
3224, 31pm2.61i 159 . 2
331, 32eqtri 2458 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   cun 3320  c0 3630  csn 3816   cmpt 4269   crn 4882  wf 5453  cfv 5457  cbs 13474  cstv 13536  cstf 15936 This theorem is referenced by:  stafval  15941  staffn  15942  issrngd  15954 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-staf 15938
 Copyright terms: Public domain W3C validator