Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stcat Unicode version

Theorem stcat 25044
Description: Structure of the class abstraction used by  Alg,  Cat and  Ded. (Contributed by FL, 26-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
stcat  |-  { x  |  E. y E. z E. v E. w ( x  =  <. <. y ,  z >. ,  <. v ,  w >. >.  /\  ph ) }  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  ( _V  X.  _V ) )
Distinct variable groups:    x, v    x, w    x, y    x, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v)

Proof of Theorem stcat
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( x  =  <. <. y ,  z >. ,  <. v ,  w >. >.  /\  ph )  ->  x  =  <. <.
y ,  z >. ,  <. v ,  w >. >. )
2 vex 2791 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
3 vex 2791 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
42, 3opelvv 4735 . . . . . 6  |-  <. y ,  z >.  e.  ( _V  X.  _V )
5 vex 2791 . . . . . . 7  |-  v  e. 
_V
6 vex 2791 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
75, 6opelvv 4735 . . . . . 6  |-  <. v ,  w >.  e.  ( _V  X.  _V )
8 opelxpi 4721 . . . . . 6  |-  ( (
<. y ,  z >.  e.  ( _V  X.  _V )  /\  <. v ,  w >.  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  <. <. y ,  z >. ,  <. v ,  w >. >.  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  ( _V  X.  _V ) ) )
94, 7, 8mp2an 653 . . . . 5  |-  <. <. y ,  z >. ,  <. v ,  w >. >.  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  ( _V  X.  _V ) )
101, 9syl6eqel 2371 . . . 4  |-  ( ( x  =  <. <. y ,  z >. ,  <. v ,  w >. >.  /\  ph )  ->  x  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  ( _V  X.  _V ) ) )
1110exlimivv 1667 . . 3  |-  ( E. v E. w ( x  =  <. <. y ,  z >. ,  <. v ,  w >. >.  /\  ph )  ->  x  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  ( _V  X.  _V ) ) )
1211exlimivv 1667 . 2  |-  ( E. y E. z E. v E. w ( x  =  <. <. y ,  z >. ,  <. v ,  w >. >.  /\  ph )  ->  x  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  ( _V  X.  _V ) ) )
1312abssi 3248 1  |-  { x  |  E. y E. z E. v E. w ( x  =  <. <. y ,  z >. ,  <. v ,  w >. >.  /\  ph ) }  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  ( _V  X.  _V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   <.cop 3643    X. cxp 4687
This theorem is referenced by:  strded  25739  strcat  25760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-opab 4078  df-xp 4695
  Copyright terms: Public domain W3C validator