HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stcl Unicode version

Theorem stcl 22796
Description: Real closure of the value of a state. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
stcl  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  e.  RR ) )

Proof of Theorem stcl
StepHypRef Expression
1 sticl 22795 . 2  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
2 0re 8838 . . . 4  |-  0  e.  RR
3 1re 8837 . . . 4  |-  1  e.  RR
4 iccssre 10731 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0 [,] 1
)  C_  RR )
52, 3, 4mp2an 653 . . 3  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
65sseli 3176 . 2  |-  ( ( S `  A )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( S `  A )  e.  RR )
71, 6syl6 29 1  |-  ( S  e.  States  ->  ( A  e. 
CH  ->  ( S `  A )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   [,]cicc 10659   CHcch 21509   Statescst 21542
This theorem is referenced by:  sto2i  22817  stge1i  22818  stle0i  22819  stlei  22820  stlesi  22821  staddi  22826  stadd3i  22828  strlem6  22836  golem1  22851  stcltrlem1  22856
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-hilex 21579
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-icc 10663  df-sh 21786  df-ch 21801  df-st 22791
  Copyright terms: Public domain W3C validator