Theorem stcltr2 10112

Description: Property of a strong classical state.

Hypotheses

Ref	Expression
stcltr1.1	|- (ph <-> (S e. States /\ A.x e. CH A.y e. CH (((S` x) = 1 -> (S` y) = 1) -> x (_ y)))
stcltr1.2	|- A e. CH

Assertion

Ref	Expression
stcltr2	|- (ph -> ((S` A) = 1 -> A = H~))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,S,y

Proof of Theorem stcltr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stcltr1.1	. . . 4 |- (ph <-> (S e. States /\ A.x e. CH A.y e. CH (((S` x) = 1 -> (S` y) = 1) -> x (_ y)))
2		helch 9037	. . . 4 |- H~ e. CH
3		stcltr1.2	. . . 4 |- A e. CH
4	1, 2, 3	stcltr1 10111	. . 3 |- (ph -> (((S` H~) = 1 -> (S` A) = 1) -> H~ (_ A))
5		ax-1 4	. . 3 |- ((S` A) = 1 -> ((S` H~) = 1 -> (S` A) = 1))
6	4, 5	syl5 21	. 2 |- (ph -> ((S` A) = 1 -> H~ (_ A))
7		eqss 2067	. . 3 |- (A = H~ <-> (A (_ H~ /\ H~ (_ A))
8	3	chssi 9022	. . 3 |- A (_ H~
9	7, 8	mpbiran 726	. 2 |- (A = H~ <-> H~ (_ A)
10	6, 9	syl6ibr 213	1 |- (ph -> ((S` A) = 1 -> A = H~))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637   (_ wss 2037  ` cfv 3172  1c1 5207  H~chil 8727  CHcch 8737  Statescst 8770

This theorem is referenced by:  stcltrlem1 10113

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hv0cl 8794  ax-hfvmul 8796

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-opr 3950  df-hlim 8780  df-sh 8997  df-ch 9013

Copyright terms: Public domain