HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stcltr2i Structured version   Unicode version

Theorem stcltr2i 23770
Description: Property of a strong classical state. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
stcltr1.1  |-  ( ph  <->  ( S  e.  States  /\  A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  ( ( ( S `  x )  =  1  ->  ( S `  y )  =  1 )  ->  x  C_  y ) ) )
stcltr1.2  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
stcltr2i  |-  ( ph  ->  ( ( S `  A )  =  1  ->  A  =  ~H ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, S, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem stcltr2i
StepHypRef Expression
1 ax-1 5 . . 3  |-  ( ( S `  A )  =  1  ->  (
( S `  ~H )  =  1  ->  ( S `  A )  =  1 ) )
2 stcltr1.1 . . . 4  |-  ( ph  <->  ( S  e.  States  /\  A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  ( ( ( S `  x )  =  1  ->  ( S `  y )  =  1 )  ->  x  C_  y ) ) )
3 helch 22738 . . . 4  |-  ~H  e.  CH
4 stcltr1.2 . . . 4  |-  A  e. 
CH
52, 3, 4stcltr1i 23769 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 ~H )  =  1  ->  ( S `  A )  =  1 )  ->  ~H  C_  A
) )
61, 5syl5 30 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  A )  =  1  ->  ~H  C_  A ) )
74chssii 22726 . . 3  |-  A  C_  ~H
8 eqss 3355 . . 3  |-  ( A  =  ~H  <->  ( A  C_ 
~H  /\  ~H  C_  A
) )
97, 8mpbiran 885 . 2  |-  ( A  =  ~H  <->  ~H  C_  A
)
106, 9syl6ibr 219 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  A )  =  1  ->  A  =  ~H ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   ` cfv 5446   1c1 8983   ~Hchil 22414   CHcch 22424   Statescst 22457
This theorem is referenced by:  stcltrlem1  23771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hv0cl 22498  ax-hfvmul 22500
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-map 7012  df-nn 9993  df-hlim 22467  df-sh 22701  df-ch 22716
  Copyright terms: Public domain W3C validator