HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stcltr2i Unicode version

Theorem stcltr2i 23627
Description: Property of a strong classical state. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
stcltr1.1  |-  ( ph  <->  ( S  e.  States  /\  A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  ( ( ( S `  x )  =  1  ->  ( S `  y )  =  1 )  ->  x  C_  y ) ) )
stcltr1.2  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
stcltr2i  |-  ( ph  ->  ( ( S `  A )  =  1  ->  A  =  ~H ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, S, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem stcltr2i
StepHypRef Expression
1 ax-1 5 . . 3  |-  ( ( S `  A )  =  1  ->  (
( S `  ~H )  =  1  ->  ( S `  A )  =  1 ) )
2 stcltr1.1 . . . 4  |-  ( ph  <->  ( S  e.  States  /\  A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  ( ( ( S `  x )  =  1  ->  ( S `  y )  =  1 )  ->  x  C_  y ) ) )
3 helch 22595 . . . 4  |-  ~H  e.  CH
4 stcltr1.2 . . . 4  |-  A  e. 
CH
52, 3, 4stcltr1i 23626 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 ~H )  =  1  ->  ( S `  A )  =  1 )  ->  ~H  C_  A
) )
61, 5syl5 30 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S `  A )  =  1  ->  ~H  C_  A ) )
74chssii 22583 . . 3  |-  A  C_  ~H
8 eqss 3307 . . 3  |-  ( A  =  ~H  <->  ( A  C_ 
~H  /\  ~H  C_  A
) )
97, 8mpbiran 885 . 2  |-  ( A  =  ~H  <->  ~H  C_  A
)
106, 9syl6ibr 219 1  |-  ( ph  ->  ( ( S `  A )  =  1  ->  A  =  ~H ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650    C_ wss 3264   ` cfv 5395   1c1 8925   ~Hchil 22271   CHcch 22281   Statescst 22314
This theorem is referenced by:  stcltrlem1  23628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-hilex 22351  ax-hfvadd 22352  ax-hv0cl 22355  ax-hfvmul 22357
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-map 6957  df-nn 9934  df-hlim 22324  df-sh 22558  df-ch 22573
  Copyright terms: Public domain W3C validator